图形学学习笔记5——向量矩阵运算

向量矩阵运算

向量

数量积

定义：

a⃗ ⋅b⃗ =|a⃗ ||b⃗ |cos<a⃗ ,b⃗ >

基本定理：

a⃗ ⋅b⃗ a⃗ ⋅(b⃗ +c⃗ )λa⃗ ⋅b⃗ a⃗ ⋅b⃗ ⋅c⃗ =b⃗ ⋅a⃗ =a⃗ ⋅b⃗ +a⃗ ⋅c⃗ =a⃗ ⋅λb⃗ ≠a⃗ ⋅(b⃗ ⋅c⃗ )(交换律)(分配律)(数乘)(结合律一般不成立)

向量积

定义：右手系，伸开右手, 使大拇指与四指垂直并保持在一个平面内, 四指指向a⃗ 的方向. 然后旋转四指到b⃗ 的方向，拇指指向的方向为向量积方向。

|a⃗ ×b⃗ |=|a⃗ ||b⃗ |sin<a⃗ ,b⃗ >

基本定理：

a⃗ ×b⃗ a⃗ ×(b⃗ +c⃗ )λa⃗ ×b⃗ a⃗ ×b⃗ ×c⃗ =−b⃗ ×a⃗ =a⃗ ×b⃗ +a⃗ ×c⃗ =a⃗ ×λb⃗ ≠a⃗ ×(b⃗ ×c⃗ )(交换律)(分配律)(数乘)(结合律一般不成立)

混合积

定义: 混合积值的绝对值是三个向量代表的六面体体积大小

(a⃗ ,b⃗ ,c⃗ )=a⃗ ×b⃗ ⋅c⃗

基本定理：

(a⃗ ,b⃗ ,c⃗ )a⃗ ×b⃗ ×c⃗ (a⃗ ×b⃗ )⋅(c⃗ ×d⃗ )(a⃗ ×b⃗ )2=(b⃗ ,c⃗ ,a⃗ )=(c⃗ ,a⃗ ,b⃗ )=(a⃗ ⋅c⃗ )b⃗ −(b⃗ ⋅c⃗ )a⃗ =(a⃗ ⋅c⃗ )(b⃗ ⋅d⃗ )−(a⃗ ⋅d⃗ )(b⃗ ⋅c⃗ )=a⃗ 2b⃗ 2−(a⃗ ⋅b⃗ )2

矩阵

基本定理：

ABA(B+C)(AB)C≠BA=AB+AC=A(BC)(交换律一般不成立)(分配律)(结合律)

行列式 (其中Ai,j是代数余子式)：

det(A)=∑i,jnai,jAi,jdet(AB)=det(A)det(B)

矩阵的逆：

A−1=1det(A)⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢A11A21⋮An1A12A22⋮An2⋯⋯⋱⋯A1nA2n⋮Ann⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥

(AB)−1=B−1A−1

该系列学习笔记主要参考 郑州师范大学 柳朝阳的《计算机图形学的概念与方法》，如需要查阅更详细的公式推导，可参考原著。