[bzoj 1009] [HNOI2008]GT考试：DP，单串AC自动机，矩阵快速幂

题意：给一个长为M（M<=20）的十进制数字串，求有多少个长为N（N<=10^9）的十进制数字串不包含它，结果对K（K<=10^3）取模。

在黄学长博客的KMP分类中找到这题。并没产生什么好思路……准确地说是没深入思考，应该批评。如果把

f[i][S]

——前i个字符，以S为(M-1)后缀——作为状态，那么来个20维的DP是能想到的……枚举第(i+1)个字符，只要不形成给定的模板串就可以转移。

把这个暴力放到AC自动机上。这里只有一串。

f[i][j]

表示文本串的前i个字符匹配到Trie图前j个结点的方案数。如果有一条边(j, k)，那么

f[i+1][k] += f[i][j]

。矩阵快速幂优化。

另一种理解方式。每一个合法文本串对应Trie图上从起点开始的一条路径。求出Trie图的邻接矩阵。对邻接矩阵做矩阵乘法，即得任意两点间恰好经过N条边的路径数。

解法来源于[bzoj 1030] [JSOI2007]文本生成器。

用矩阵乘法优化DP的关键在于构造转移矩阵A。如果想让转移矩阵乘到右边，那么

A[i][j]

是i对j的贡献。如果想让转移矩阵乘到左边，那么

A[i][j]

是i从j得到的贡献。

我的矩阵快速幂写的不是很优雅……几个数组复制来复制去的……黄学长用迭代写的，很精简。

一开始我真的是用KMP的失配指针转移的……没仔细想。失配不一定只跳一次嘛，这样怎么能让长度为N的字符串和经过N条边的路径对应呢？其实AC自动机也有多种写法，这里要用补完版本。

放两份代码。第二份是纯暴力，可以用于检验小数据。

#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
int N, M, K;
const int MAX_M = 20, sz = sizeof(int)*MAX_M*MAX_M, SS = 10;
char a[MAX_M+1];
int A[MAX_M][MAX_M], next[MAX_M][10], fail[MAX_M];

void build()
{
A[0][0] = SS-1;

if (M == 1)
return;

A[0][1] = 1;
next[0][a[0]] = 1;

for (int i = 1; i < M; ++i) {
if (i > 1)
fail[i] = next[fail[i-1]][a[i-1]];
for (int j = 0; j < SS; ++j) {
if (i == M-1 && j == a[i])
continue;
next[i][j] = j == a[i] ? i+1 : next[fail[i]][j];
if (++A[i][next[i][j]] == K)
A[i][next[i][j]] = 0;
}
}
}

void matrix_mul(int C[MAX_M][MAX_M], int A[MAX_M][MAX_M], int B[MAX_M][MAX_M])
{
memset(C, 0, sz);
for (int i = 0; i < M; ++i)
for (int j = 0; j < M; ++j)
for (int k = 0; k < M; ++k)
(C[i][j] += A[i][k] * B[k][j]) %= K;
}

void matrix_exp(int A[MAX_M][MAX_M], int n)
{
if (n == 0) {
memset(A, 0, sz);
for (int i = 0; i < M; ++i)
A[i][i] = 1;
return;
}
if (n == 1)
return;
int B[MAX_M][MAX_M], C[MAX_M][MAX_M];
memcpy(B, A, sz); // B = A
matrix_exp(A, n/2);
matrix_mul(C, A, A);
if (n & 1)
matrix_mul(A, C, B);
else
memcpy(A, C, sz); // A = C
}

int main()
{
scanf("%d %d %d %s", &N, &M, &K, a);
for (int i = 0; i < M; ++i)
a[i] -= '0';
build();
matrix_exp(A, N);
int ans = 0;
for (int j = 0; j < M; ++j)
ans = (ans + A[0][j]) % K;
printf("%d\n", ans);
return 0;
}

#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
const int MAX_N = 10, MAX_M = 10, SS = 10;
int N, M, K;
char a[MAX_M], b[MAX_N];

int search(int k)
{
int ans = 0;
if (k == N) {
bool ok = false;
for (int i = 0; i < N; ++i)
if (i+M <= N && !strncmp(a, b+i, M)) {
ok = true;
break;
}
return !ok;
}
for (int i = 0; i < SS; ++i) {
b[k] = i+'0';
(ans += search(k+1)) %= K;
}
return ans;
}

int main()
{
scanf("%d %d %d %s", &N, &M, &K, a);
printf("%d\n", search(0));
return 0;
}