BZOJ1009 [HNOI2008]GT考试(KMP算法+矩阵加速dp)
2015-01-23 00:50
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按顺序处理准考证号每一位,
设f[i][j]表示:准考证号前i位中 后j位与不吉利数的前j位相同时,前i位的方案数
那么答案ans=f
[0]+f
[1]+…+f
[m-1]
f[i][j]的准确含义:
1.f[i][j]表示的每种方案不仅与其后j位有关,还应保证不含不吉利数
2.为避免重复,f[i][j]表示的每种方案都不含长度大于j且与不吉利数的前缀相同 的后缀
否则就会出现:从1到m标号,不吉利数为123124时,f[i][2]计数的方案包含f[i][5]计数的方案 的情况
状态转移:
f[i][j]只能由f[i-1][k]得到,相当于填完第i-1位后,将其后缀k(长为k的后缀)后面新添一位num,之后这个i位数的 与不吉利数前缀相同的最长后缀是:后缀j
i>=1时:f[i][j]=f[i-1][0]*a[0][j]+f[i-1][1]*a[1][j]+…+f[i-1][m-1]*a[m-1][j]
比如:还是假设不吉利数为123124,那么 f[i][3]=f[i-1][2]+f[i-1][5],因为 f[i-1][2]末尾的*****12不能是**12312,所以需要f[i-1][5]补充
但若不吉利数为123123,那么 f[i][3]=f[i-1][2],因为 f[i][3]末尾的*****123不能是**123123
i==0时:f[0][0]=1,f[0][其他]=0
其中,a[k][j]就表示上面提到的num能取几个值,可以用kmp算法预处理出来,它是一个矩阵
这样就可以不重不漏地计数了
再来个矩阵加速:f[i][j]求法是个线性齐次递推式,可以构造成矩阵
如果有问题,欢迎和我交流。
按顺序处理准考证号每一位,
设f[i][j]表示:准考证号前i位中 后j位与不吉利数的前j位相同时,前i位的方案数
那么答案ans=f
[0]+f
[1]+…+f
[m-1]
f[i][j]的准确含义:
1.f[i][j]表示的每种方案不仅与其后j位有关,还应保证不含不吉利数
2.为避免重复,f[i][j]表示的每种方案都不含长度大于j且与不吉利数的前缀相同 的后缀
否则就会出现:从1到m标号,不吉利数为123124时,f[i][2]计数的方案包含f[i][5]计数的方案 的情况
状态转移:
f[i][j]只能由f[i-1][k]得到,相当于填完第i-1位后,将其后缀k(长为k的后缀)后面新添一位num,之后这个i位数的 与不吉利数前缀相同的最长后缀是:后缀j
i>=1时:f[i][j]=f[i-1][0]*a[0][j]+f[i-1][1]*a[1][j]+…+f[i-1][m-1]*a[m-1][j]
比如:还是假设不吉利数为123124,那么 f[i][3]=f[i-1][2]+f[i-1][5],因为 f[i-1][2]末尾的*****12不能是**12312,所以需要f[i-1][5]补充
但若不吉利数为123123,那么 f[i][3]=f[i-1][2],因为 f[i][3]末尾的*****123不能是**123123
i==0时:f[0][0]=1,f[0][其他]=0
其中,a[k][j]就表示上面提到的num能取几个值,可以用kmp算法预处理出来,它是一个矩阵
这样就可以不重不漏地计数了
再来个矩阵加速:f[i][j]求法是个线性齐次递推式,可以构造成矩阵
如果有问题,欢迎和我交流。
#include<stdio.h> #include<stdlib.h> #include<string.h> int next[25]={0},hash[155]={0}; char t[25]={0}; int m,mod; struct juzhen { int s[25][25]; juzhen() { memset(s,0,sizeof(s)); } }; juzhen A,Z; juzhen cheng(juzhen A,juzhen B) { juzhen res; int i,j,k; for(i=0;i<m;i++) for(j=0;j<m;j++) { for(k=0;k<m;k++) res.s[i][j]+=A.s[i][k]*B.s[k][j]; res.s[i][j]%=mod; } return res; } juzhen ksm(juzhen A,int n) { juzhen res; if(n==1) return A; res=ksm(A,n/2); res=cheng(res,res); if(n%2==1) res=cheng(res,A); return res; } int main() { int n,i,j,sum,ans=0; scanf("%d%d%d\n",&n,&m,&mod); for(i=1;i<=m;i++) scanf("%c",&t[i]); next[1]=next[2]=1; for(i=2;i<m;i++) { j=next[i]; while(j>1&&t[i]!=t[j]) j=next[j]; if(t[j]==t[i]) next[i+1]=j+1; else next[i+1]=1; } Z.s[0][0]=1;//f[0][0]==1 for(i=0;i<m;i++)//初始化a[][]数组 { j=i+1; sum=A.s[i][j]=1; hash[t[j]]=i+1; while(j!=1) { j=next[j]; if(hash[t[j]]!=i+1) { A.s[i][j]=1; hash[t[j]]=i+1; sum++;//每个长度为j(非0)的后缀对应一种填法 } } A.s[i][0]=10-sum;//第i位总共10种填法,把用过的数字去掉 } Z=cheng(Z,ksm(A,n)); for(i=0;i<m;i++) ans+=Z.s[0][i]; printf("%d",ans%mod); return 0; }
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