动态规划初步-完全背包问题

问题描述：

有n种重量和价值分别为wi，vi的物品。从这些物品中挑选总重量不超过m的物品，求出挑选物品价值总和的最大值。在这里，每种物品可以挑选任意多件。

限制条件：

1<=n<=100

1<=wi,vi<=100

1<=w<=10000

思路分析：

与之前的01背包问题相似(01背包问题链接)，只是这里每件物品可供挑选的数量不限，因此首先想到的就是，在先前01背包问题的基础上，对第i件物品的数量进行讨论。

即：dp[i][j]=max{dp[i-1][j-k*w[i]]+k*v[i] | k>=0}

这里的k为第i件物品的件数，即分别讨论拿0,1,2,3……件i物品，取其中的最大值作为dp[i][j]的值。

代码实现上很容易想到加一层for循环。int DP()
{
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=1;j<=m;j++)
{
for(int k=0;k*w[i]<=j;k++)
{
dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-k*w[i]]+k*v[i]);
}
}
}
return dp
[m];
}
可是这样的程序构成了3层循环，最内层循环的最坏情况可能从0循环至m，所以这个算法的时间复杂度为O(n*m^2)。这样并不够好。

注意到dp[i][j]中计算k个的情况与在dp[i][j-w[i]]中计算k-1个一样，也就是进行了很多重复计算，从这个角度去寻找优化的方法。

dp[i][j]=max{dp[i-1][j-k*w[i]]+k*v[i] | k>=0}

=max(dp[i-1][j]，max{dp[i-1][j-k*w[i]]+k*v[i] | k>=1})

=max(dp[i-1][j]，max{dp[i-1][j-w[i]-k*w[i]]+k*v[i] | k>=0})//此处与第一行结构相同

=max(dp[i-1][j]，dp[i][j-w[i]])

这样一来就不需要关于k的for循环了，便可以用O(n*m)时间解决问题。

代码实现：

#include"cstdio"
#include"algorithm"
using namespace std;
int n,m;
int w[105],v[105];
int dp[105][10005]={0};
int DP()
{
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=1;j<=m;j++)
{
/*
for(int k=0;k*w[i]<=j;k++)
{
dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-k*w[i]]+k*v[i]);
}
*/
if(j<w[i])
dp[i][j]=dp[i-1][j];
else
dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-w[i]]+v[i]);
}
}
return dp
[m];
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++)
scanf("%d%d",&w[i],&v[i]);
printf("%d\n",DP());
return 0;
}
/*
测试样例：
3 7
3 4
4 5
2 3
*/