Neural Networks and Deep Learning CH4

Two caveats

Universality with one input and one output

Many input variables

Extension beyond sigmoid neurons

这一章比较简单，主要证明了为什么神经网络可以计算任意的连续函数。无论这个函数是什么，总存在一个神经网络，对任意的输入x，可以从网络中得到近似的f(x)。当函数有多个输入多个输出时也适用。

这个结论告诉我们，神经网络有一种普遍性（universality），无论我们要计算什么样的函数，总有一个神经网络可以计算它。甚至是只需要一层隐藏层就可以实现计算任意函数。因此非常简单的网络就可以很强大了。

本章将会给出一个关于universality theorem简单可视化的解释。

Two caveats

在进入解释之前，严格定义一下何为“a neural network can compute any function”。

第一，这并不意味着一个网络可以用来精确地（exactly）计算任意的函数，而是获得一个我们想要的最好的近似（approximation）。增加隐藏层可以增加近似的程度。

第二，我们所能近似的函数是连续函数（continuous functions）。但实际中还是可以用连续函数近似不连续的函数的。

Universality with one input and one output

为了理解为什么universality theorem成立，从理解神经网络如何构造一个单输入单输出的函数入手：



假设用以下神经网络来构造：



拖动w值和b的值后可以发现：w值增大，输出的中间段会变陡；反之，变缓。b值增大，整个函数向左平移；反之，向右平移。

因此，通过控制上图中w和b的值，可以近似出一个step function：



而实际上分析step functions比分析sigmoid functions简单，因为分析一系列的step functions的和比sigmoid functions的和简单。因此我们可以认为我们的神经网络输出的是step function的近似。

并且可以发现，阶跃发生在s=−b/w处。



因此可以只用一个s来简化表达：



目前为止，我们只考虑了上面的一个神经元，现在我们加入下面的一个神经元以及最后两个weights一起考虑：



调制参数，可以得到如下图像：



易知上图中w1,w2可以调整凸包的高度，s1,s2调整宽度，于是可以将上图简化表示如下：



继续加入几个神经元，可以达到如下效果：



更进一步，可以得到：



回到原来的问题，我们如何用上面的结论去构造一个函数呢？这里我觉得已经非常简单了，就和积分的推导过程差不多。而书中也是这样的意思：

Many input variables

接下来先看一个有两个输入的例子，之后就可以推广到更多维度。



同样可以发现w调整“瀑布”的陡峭程度，越大越陡；而b则调整图像的位置。

依旧可以发现，其阶跃的位置为s=−b/w1。因此，同单输入一样定义：



如果由下面那个神经元影响，图像如下：



同一维的情况，可以“搭个桥”，注意此时的输出是输出层进入激活函数之前的输出：



同理如果是y主导的，就换个方向。

如果将两个方向结合起来，可以组成如下图像，中间一块凸起来是符合规律的，因为x和y重复叠加了：



上图省略了边权为0的边。

如果能将上面的图像经过输出层的激活函数后，变为如下的Tower function：



那么我们就可以把许多的Tower function叠加起来：



因此，加入输出层的偏差b，考虑如何构造Tower function，尝试后可以发现，当h变大，b变小时，可以达到这个效果：



此时可以选择b=−3h/2。

将两个不同模块结合起来，并增加一层输出，可以得到如下效果：



接下来如何构造出一个二维的函数与一维同理。

接着可以往更多维的推导了。

…

经过推导，可以得到一个m维的函数，为了得到类似上面的Tower function，其输出的偏差约为(−m+1/2)h。

至此，便可以解释本章的问题了。

Extension beyond sigmoid neurons

考虑不同与sigmoid的激活函数，s(z)：



我们依旧可以用这个函数来构造一个step function：



将w调大，调整位置b，可以得到：



我们可以使用上面一节所提到的所有技巧来整合这个函数。

推广到一般，可以实现上述条件的激活函数满足：当z趋于正无穷和负无穷时，函数值趋近于两个值。

因而ReLU是不满足的。那么就有一个问题了，为什么ReLU可以用作激活函数来训练神经网络呢？

这里目前我也还没有答案。