漫步线性代数二十六——特征值和特征向量(续)
2016-09-22 19:52
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上面展示了当求解du/dt=Au时,如何自然而然的引出特征值λ和特征向量x,这样的一个方程有纯指数解u=eλtx;特征值给出了增长或衰减速率,特征向量x以这个速率在变化。其他解是这些解的叠加,这样做是为了拟合初始条件。
关键方程是Ax=λx,大多数向量x不满足这样的方程,当A与他们相乘时,他们的方向发生了变化,这样的话Ax就不是x的倍数,这意味着只有某些特殊值是特征值,某些特殊向量x是特征向量。我们可以观察每个特征向量,然后将他们组合起来得到解。换句话说就是,基本矩阵可以被对角化。
对角化(下篇文章进行介绍)可以应用到微分方程,斐波那契额数列,马尔科夫过程和差分方程。对于每个实例,我们首先计算特征值和特征向量;这个是不可避免的步骤。对称矩阵非常容易求解,亏损矩阵没有完整的特征向量,所以他们不能对角化,当然我们还是会讨论他们的。
下面以一个良好矩阵实例进行说明。
例1:当A是对角矩阵时,所有东西都很清晰:
A=[3002]特征值λ1=3x1=[10], 特征值λ2=2x2=[01]
对于每个特征值,A就像是单位矩阵的倍数:Ax1=3x1,Ax2=2x2,其他向量例如x=(1,5)是两个特征向量的组合x1+5x2,当A乘以x1,x2时,它得到特征值λ1=3,λ2=2:
A⋅x1+5x2就是3x1+10x2=[310]
这就是某个向量x(不是特征向量)的Ax值,当时A的作用完全由它的特征值和特征向量决定。
例2:投影矩阵的特征值是1或者0!:
P=⎡⎣⎢⎢12121212⎤⎦⎥⎥特征值λ1=1x1=[11], 特征值λ2=0x2=[1−1]
当x投影到它自身时,我们有λ=1,当x投影到零向量时,λ=0。P的列有特征向量,并且有零空间。如果这些空间维数是r,n−r,那么λ=1重复r次,λ=0重复n−r次:
P=⎡⎣⎢⎢⎢1000000000000001⎤⎦⎥⎥⎥特征值是λ=1,1,0,0
零可能是特征值,也可能不是。如果是,那么它的特征向量满足Ax=0x,因此x在A的零空间内。零特征值表明A是奇异的(不可逆);它的行列式为零。对于可逆矩阵来说,所有特征值λ≠0。
例3:当A是三角矩阵时,特征值在主对角线上:
det(A−λI)=∣∣∣∣∣∣∣1−λ00434−λ05612−λ∣∣∣∣∣∣∣=(1−λ)(34−λ)(12−λ)
行列式仅仅是对角元素的乘积,如果λ=1,34或者12,那么它等于零;特征值已经位于主对角线上。
这个例子中的特征值可以直接看出来,这也是之后要讲到的要点:将A变换成对角或三角矩阵,而特征值不变。我们之前强调过高斯分解A=LU无法达到这个目的,U的特征值可能直接在对角线上,但是他们不是A的特征值。
对于大多数矩阵,毫无疑问的是计算特征值比求解Ax=b要困难,对于一个线性方程组,有限步的消元步骤就能在有限时间内求出精确解(或者等价的,克莱姆法则给出了解的精确公式),没有类似的特征值公式。对于5×5矩阵,det(A−λI)牵涉到λ5,伽罗瓦和阿贝尔证明了五阶多项式的根没有代数公式。
在我们求出特征值后,我们有两个好方法类验证他们:和与乘积。
2、n个特征值的和等于n个对角元素的和:
A的迹=λ1+⋯+λn=a11+⋯+ann(1)
进一步,n个特征值的乘积等于A的行列式。
投影矩阵P的对角元素是12,12,特征值是1,0,可以看出12+12等于1+0。 对于奇异矩阵(行列式为零)来说,它的特征值至少有一个为零。
大家不要混淆特征值和对角元素,对于三角矩阵来说,他们是一样的——但是这是个特例。一般情况下,主元,对角元素和特征值完全不同,并且对2×2矩阵来说,迹和行列式提供了许多信息:
[acbd]的迹是a+d,行列式是ad−bc
det(A−λI)=det[a−λcbd−λ]=λ2−(迹)λ+(行列式)
特征值是λ=(迹)±[(迹)2−4det]1/22
直接可以看出两个特征值相加得到迹。
关键方程是Ax=λx,大多数向量x不满足这样的方程,当A与他们相乘时,他们的方向发生了变化,这样的话Ax就不是x的倍数,这意味着只有某些特殊值是特征值,某些特殊向量x是特征向量。我们可以观察每个特征向量,然后将他们组合起来得到解。换句话说就是,基本矩阵可以被对角化。
对角化(下篇文章进行介绍)可以应用到微分方程,斐波那契额数列,马尔科夫过程和差分方程。对于每个实例,我们首先计算特征值和特征向量;这个是不可避免的步骤。对称矩阵非常容易求解,亏损矩阵没有完整的特征向量,所以他们不能对角化,当然我们还是会讨论他们的。
下面以一个良好矩阵实例进行说明。
例1:当A是对角矩阵时,所有东西都很清晰:
A=[3002]特征值λ1=3x1=[10], 特征值λ2=2x2=[01]
对于每个特征值,A就像是单位矩阵的倍数:Ax1=3x1,Ax2=2x2,其他向量例如x=(1,5)是两个特征向量的组合x1+5x2,当A乘以x1,x2时,它得到特征值λ1=3,λ2=2:
A⋅x1+5x2就是3x1+10x2=[310]
这就是某个向量x(不是特征向量)的Ax值,当时A的作用完全由它的特征值和特征向量决定。
例2:投影矩阵的特征值是1或者0!:
P=⎡⎣⎢⎢12121212⎤⎦⎥⎥特征值λ1=1x1=[11], 特征值λ2=0x2=[1−1]
当x投影到它自身时,我们有λ=1,当x投影到零向量时,λ=0。P的列有特征向量,并且有零空间。如果这些空间维数是r,n−r,那么λ=1重复r次,λ=0重复n−r次:
P=⎡⎣⎢⎢⎢1000000000000001⎤⎦⎥⎥⎥特征值是λ=1,1,0,0
零可能是特征值,也可能不是。如果是,那么它的特征向量满足Ax=0x,因此x在A的零空间内。零特征值表明A是奇异的(不可逆);它的行列式为零。对于可逆矩阵来说,所有特征值λ≠0。
例3:当A是三角矩阵时,特征值在主对角线上:
det(A−λI)=∣∣∣∣∣∣∣1−λ00434−λ05612−λ∣∣∣∣∣∣∣=(1−λ)(34−λ)(12−λ)
行列式仅仅是对角元素的乘积,如果λ=1,34或者12,那么它等于零;特征值已经位于主对角线上。
这个例子中的特征值可以直接看出来,这也是之后要讲到的要点:将A变换成对角或三角矩阵,而特征值不变。我们之前强调过高斯分解A=LU无法达到这个目的,U的特征值可能直接在对角线上,但是他们不是A的特征值。
对于大多数矩阵,毫无疑问的是计算特征值比求解Ax=b要困难,对于一个线性方程组,有限步的消元步骤就能在有限时间内求出精确解(或者等价的,克莱姆法则给出了解的精确公式),没有类似的特征值公式。对于5×5矩阵,det(A−λI)牵涉到λ5,伽罗瓦和阿贝尔证明了五阶多项式的根没有代数公式。
在我们求出特征值后,我们有两个好方法类验证他们:和与乘积。
2、n个特征值的和等于n个对角元素的和:
A的迹=λ1+⋯+λn=a11+⋯+ann(1)
进一步,n个特征值的乘积等于A的行列式。
投影矩阵P的对角元素是12,12,特征值是1,0,可以看出12+12等于1+0。 对于奇异矩阵(行列式为零)来说,它的特征值至少有一个为零。
大家不要混淆特征值和对角元素,对于三角矩阵来说,他们是一样的——但是这是个特例。一般情况下,主元,对角元素和特征值完全不同,并且对2×2矩阵来说,迹和行列式提供了许多信息:
[acbd]的迹是a+d,行列式是ad−bc
det(A−λI)=det[a−λcbd−λ]=λ2−(迹)λ+(行列式)
特征值是λ=(迹)±[(迹)2−4det]1/22
直接可以看出两个特征值相加得到迹。
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