高斯分布期望的推导

1. 高斯概率密度函数的积分

令

I=∫+∞−∞exp(−12σ2x2)dx

它的平方则为：

I2=∫+∞−∞∫+∞−∞exp(−12σ2x2−12σ2y2)dxdy

将坐标(x,y)转为极坐标(r,θ)，则有：

x=rcos(θ)y=rsin(θ)

所以：

I2=∫2π0∫∞0exp(−r22σ2)rdrdθ=2π∫∞0exp(−u2σ2)12du=π[exp(−u2σ2)(−2σ2)]∞0=2πσ2

从而我们有

∫+∞−∞N(x|μ,σ2)dx=1

2. 高斯分布的期望

该推导来自http://math.stackexchange.com/

高斯分布的概率密度函数为：

fX(x)=1σ2π−−√exp{−(x−μ)22σ2}

其中σ>0。根据期望的定义，我们有：

E(X)=∫∞−∞x1σ2π−−√exp{−(x−μ)22σ2}dx

根据积分原理，令y=x−μ

E(X)=∫∞−∞(y+μ)1σ2π−−√exp{−y22σ2}dy=∫∞−∞y1σ2π−−√exp{−y22σ2}dy+∫∞−∞μ1σ2π−−√exp{−y22σ2}dy[1]

第一部分用I1表示：

I1=∫∞−∞x1σ2π−−√exp{−x22σ2}dx

显然函数

f(x)=x1σ2π−−√exp{−x22σ2}

是一个奇函数(因为f(x)=−f(−x))，其对称区间的积分等于0。因此我们有

I1=0

所以我们有

E(X)=∫∞−∞μ1σ2π−−√exp{−x22σ2}dx=μ∫∞−∞1σ2π−−√exp{−x22σ2}dx

运用第一节的证明 我们就有

E(x)=μ∫+∞−∞N(x|μ′=0,σ2)dx=μ

3. 高斯分布的方差

Var(X)=∫∞−∞(x−μ)21σ2π−−√exp{−(x−μ)22σ2}dx

∫∞−∞(x−μ)21σ2π−−√exp{−(x−μ)22σ2}dx=∫∞−∞x21σ2π−−√exp{−x22σ2}dx

=σ2√∫∞−∞(σ2√x)21σ2π−−√exp{−(σ2√x)22σ2}dx=σ24π√∫∞0x2e−x2dx

令t=x2，则有dt=2xdx=2t√dx⇒dx=(2t√)−1dt，带入上式：

V(X)=σ24π√∫∞0(t√)2(2t√)−1e−tdt=σ24π√12∫∞0t32−1e−tdt=σ24π√12Γ(32)

⇒V(X)=σ24π√12π√2=σ2

Γ()为伽马函数