微软面试100题系列---最大二维子矩阵和

题目

求一个矩阵中最大的二维矩阵（元素和最大）；

实现

方法1

思路：遍历每个二维矩阵，记录最大的和；时间复杂度o(mn);

代码：

public static void Max2DMatrix(int[][] A,int row,int col){
int maxSum=0;
int sum=0;
int res_i=0,res_j=0;
for(int i=0;i<row-1;i++){
for(int j=0;j<col-1;j++){
sum=A[i][j]+A[i+1][j]+A[i][j+1]+A[i+1][j+1];
if(maxSum<sum){
maxSum=sum;
res_i=i;
res_j=j;
}
}
}
result[0][0]=A[res_i][res_j];
result[0][1]=A[res_i][res_j+1];
result[1][0]=A[res_i+1][res_j];
result[1][1]=A[res_i+1][res_j+1];
}

方法2

对方法1进行分析，方法1在每次遍历时，必须同时访问4个元素，如图所示：



从图中可以看出，多个元素被重复访问多次。

我们对其进行改进，使每个元素的访问次数尽可能的减少。改进方法如下：

1)增加一个变量last_vsum(最新纵向和)，初始化为

A[0][0]+A[1][0]

;

2)改变遍历方式，每次遍历只访问纵向的2个元素A[i][j]和A[i+1][j]；横向遍历的起始点从第二列开始；

3)改变求和方式，求和方法：将上次保存的last_vsum+A[i][j]+A[i+1][j];last_vsum=A[i][j]+A[i+1][j];

这样可以减少某些元素的访问次数；

代码实现：

public static void Max2DMatrix_2(int[][] A,int row,int col){
int last_vsum=A[0][0]+A[1][0];
int maxSum=0;
int sum=0;
int res_i=0,res_j=0;
for(int i=0;i<row-1;i++){
for(int j=1;j<col;j++){
sum=last_vsum;
last_vsum=A[i][j]+A[i+1][j];
sum+=last_vsum;
if(maxSum<sum){
maxSum=sum;
res_i=i;
res_j=j-1;
}
}
}

result[0][0]=A[res_i][res_j];
result[0][1]=A[res_i][res_j+1];
result[1][0]=A[res_i+1][res_j];
result[1][1]=A[res_i+1][res_j+1];
}

方法2与方法1的时间复杂度相同，但效率高，尤其在大矩阵情况下。但是当矩阵的行数大于列数，方法2效率下降；

===》如果列大于行，使用方法2—横向遍历；

如果列小于行，使用–纵向遍历；

扩展

要求求出最大的子矩阵。

分析：

这是一维最大字串的二维扩展问题。

一维最大字串（最大连续子数组和）问题–动态规划：

b[i]–表示包含a[i]的子数组和；b[i]=max{b[i-1]+a[i],a[i]}；

将最大字串应用到该题目中，步骤：

1)压缩列

将每列自上向下做累加，存入b[i][j]中；b[i][j]表示第j列，自第一行到第i行的和；

对于第j列，从第i行到第k行的和：b[k][j]-b[i][j]；

2)DP列

得到b后，对b求最大子数组和问题；b是一维的；

然后循环DP，总共三层循环：

最外层i从1-n,表明子矩阵从第i行到第开始累加的；

第二层j从i-n，表明子矩阵从第i行累加到第j行；

第三层k从1到m做DP；

代码实现

public static int maxSubMatrix(int[][] A,int row,int col){
int[] b=new int[col];
int i,j,k;
int max=0,sum=Integer.MIN_VALUE;

for(i=0;i<row;i++){
for(k=0;k<col;k++){
b[k]=0;
}
for(j=i;j<row;j++){//从i行到j行的和；先是第i行（1行）；然后从i到i+1（2行），依次求，最后从i到j行的和；每求一次得到一个b的一维数组，然后对该数组求最大连续子数组和（子矩阵的和），判断是否比当前维护的最大子矩阵和大；--从第i行开始依次压缩列，压缩1列/压缩2列...；
for(k=0;k<col;k++){
b[k]+=A[j][k];
}
max=maxSubArray(col,b);
if(max>sum){
sum=max;
}
}
}
return sum;
}

public static int maxSubArray(int  n,int[] a){
int b=0;
int sum<
4000
/span>=Integer.MIN_VALUE;
for(int i=0;i<n;i++){
if(b>0){
b+=a[i];
}else{
b=a[i];
}
if(b>sum){
sum=b;
}
}
return sum;
}