Maple计算积分胜出Mathematica一局（案例）

——虽然Maple的界面用起来比较不称心，我从来不敢否认它的强大。这不，碰上一个简单定积分计算的例子：Maple可以计算出来，mathematica不支持。

问题

一个包含 向下取整 函数的定积分：

∫10x⌊1x⌋dx=?

解答

一些研究

分段函数piecewise求导数、积分原函数都不能用光滑连续函数类似的办法。通常解决较难问题的一般方法是 把待求解的陌生或难的问题，通过一些变换，转化成已经求解过的问题的形式、或者相对熟悉的容易解决的问题的形式

变换 和 转化 有不同的类型，取决于思路、经验、视野。

我想到的是，原始问题中的定积分，实际就是求面积。

被积函数绘制出来时分段的如下形式；绘出积分对应的面积到蓝色部分：

<<MaTeX`

Plot[x Floor@(1/x)//Evaluate,
{x,0.01,1},
PlotStyle->Directive[Black,Thin],
Filling->Axis,FillingStyle->Blue,
AxesOrigin->{0,0}, AspectRatio->1,ImageSize->800,WorkingPrecision->30,
PlotPoints->10000,
FrameStyle->BlackFrame,Frame->True,

FrameTicks->{ {Table[{x,MaTeX[x,"DisplayStyle"->True,Magnification->3/2]},{x, Range[0,5]/5}],None},
{Table[{x,MaTeX[x,"DisplayStyle"->True,Magnification->3/2]},{x, 1/Range[1,7]}],None}}

]

边长为1的正方形面积减去一系列小直角三角形的面积之和即可。这些小三角形的上直角边长度实际对应于下面的值：

{1−12,12−13,13−14,⋯,1k−1k+1,⋯}

侧直角边长为1减去下角点纵坐标。所有的下角点都在直线 y=1−x上。从而容易得到蓝色部分的总面积，也就是定积分的数值：

SBLUE=1−∑k=1+∞12k(k+1)2=π212

这个级数很奇妙。利用这个结果：∑k=1+∞1k2=π26，可以得到：

∑k=1+∞1k(k+1)2=∑k=1+∞((1k−1k+1)−1(k+1)2)

=∑k=1+∞(1k−1k+1)−∑k=1+∞1(k+1)2=1−(π26−1)=2−π26

最终结果从而可以知道。

把图从新画一下，

Plot[{1, x Floor@(1/x) // Evaluate}, {x, 0.1^5, 1},
PlotStyle -> {Red, Directive[None, Thin]},
Filling -> {1 -> {{2}, {Red}}}, AxesOrigin -> {0, 0},
AspectRatio -> 1, ImageSize -> 800, WorkingPrecision -> 30,
PlotPoints -> 10000, FrameStyle -> BlackFrame, Frame -> True,
FrameTicks -> {{Table[{x,
MaTeX[x, "DisplayStyle" -> True, Magnification -> 3/2]}, {x,
Range[0, 5]/5}],
None}, {Table[{x,
MaTeX[x, "DisplayStyle" -> True, Magnification -> 3/2]}, {x,
1/Range[1, 7]}], None}}]

这种图只能象征性表示下。从说明的角度看，似乎不是特别严谨。或者，要交代面积跟积分之间等价，太费口舌。——一直觉得这样的证明，有那么点欠缺，即无法充分、完全地“形式化”为机器能懂的方式。这难道就是人工智能跟人类智能之间根本的差距所在？

此外，看到一个变量代换 t=1x，然后把积分变化为无穷多个(k,k+1) 上积分的级数和的方法，把向下取整函数等价变换为积分区间的下限，更加简单巧妙。——Mathematica做不出这个积分实在让人扼腕叹息啊。

这篇博客真正的重点不在这个积分的求解，而在于，这种坐标轴和轴上标记的绘制小技巧（因为求积分有更简单的变量代换方法）；用演示定积分计算的这种方法对应的分析过程，来演示这种绘制坐标轴刻度的技巧，看上去很恰当。