回溯算法经典应用之—N皇后问题 (Java)
2016-08-24 15:37
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1、回溯算法简介
回溯算法也叫试探法,它是一种系统地搜索问题的解的方法。回溯算法的基本思想是:从一条路往前走,能进则进,不能进则退回来,换一条路再试。用回溯算法解决问题的一般步骤为:
1)、定义一个解空间,它包含问题的解。
2)、利用适于搜索的方法组织解空间。
3)、利用深度优先法搜索解空间。
4)、利用限界函数避免移动到不可能产生解的子空间。
问题的解空间通常是在搜索问题的解的过程中动态产生的,这是回溯算法的一个重要特性。
2、N皇后问题定义
在n×n格的国际象棋上摆放八个皇后,使其不能互相攻击,即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上,问有多少种摆法。
如图所示为8皇后问题。
思路: 用数组x
表示n后问题的解。
其中,x[i]表示皇后i放置在棋盘的第i行的第x[i]列。由于不容许将2个皇后放在同一列上,所以解向量中的x[i]互不相同。2个皇后不能放在同一斜线上是问题的隐约束。对于一般的n后问题,这一隐约束条件可以化成显约束的形式。如果将n*n 格的棋盘看做二维方阵,其行号从上到下,列号从左到右依次编号为1,2,...n。从棋盘左上角到右下角的主对角线及其平行线(即斜率为-1的各斜线)上,2个下标值的差(行号-列号)值相等。同理,斜率为+1的每条斜线上,2个下标值的和(行号+列号)值相等。因此,若2个皇后放置的位置分别是(i,j)和(k,l),且
i-j = k -l 或 i+j = k+l,则说明这2个皇后处于同一斜线上。以上2个方程分别等价于i-k = j-l 和 i-k =l-j。由此可知,只要|i-k|=|l-j|成立,就表明2个皇后位于同一条斜线上。
解题步骤:
1)、从空棋盘起,逐行放置棋子。
2)、每在一个布局中放下一个棋子,即推演到一个新的布局。
3)、如果当前行上没有可合法放置棋子的位置,则回溯到上一行,重新布放上一行的棋子。
3、Java代码实现
不同数量皇后只需要修改N的值就可以了。
这里给出一种当N= 4的时候的输出:
回溯算法也叫试探法,它是一种系统地搜索问题的解的方法。回溯算法的基本思想是:从一条路往前走,能进则进,不能进则退回来,换一条路再试。用回溯算法解决问题的一般步骤为:
1)、定义一个解空间,它包含问题的解。
2)、利用适于搜索的方法组织解空间。
3)、利用深度优先法搜索解空间。
4)、利用限界函数避免移动到不可能产生解的子空间。
问题的解空间通常是在搜索问题的解的过程中动态产生的,这是回溯算法的一个重要特性。
2、N皇后问题定义
在n×n格的国际象棋上摆放八个皇后,使其不能互相攻击,即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上,问有多少种摆法。
如图所示为8皇后问题。
思路: 用数组x
表示n后问题的解。
其中,x[i]表示皇后i放置在棋盘的第i行的第x[i]列。由于不容许将2个皇后放在同一列上,所以解向量中的x[i]互不相同。2个皇后不能放在同一斜线上是问题的隐约束。对于一般的n后问题,这一隐约束条件可以化成显约束的形式。如果将n*n 格的棋盘看做二维方阵,其行号从上到下,列号从左到右依次编号为1,2,...n。从棋盘左上角到右下角的主对角线及其平行线(即斜率为-1的各斜线)上,2个下标值的差(行号-列号)值相等。同理,斜率为+1的每条斜线上,2个下标值的和(行号+列号)值相等。因此,若2个皇后放置的位置分别是(i,j)和(k,l),且
i-j = k -l 或 i+j = k+l,则说明这2个皇后处于同一斜线上。以上2个方程分别等价于i-k = j-l 和 i-k =l-j。由此可知,只要|i-k|=|l-j|成立,就表明2个皇后位于同一条斜线上。
解题步骤:
1)、从空棋盘起,逐行放置棋子。
2)、每在一个布局中放下一个棋子,即推演到一个新的布局。
3)、如果当前行上没有可合法放置棋子的位置,则回溯到上一行,重新布放上一行的棋子。
3、Java代码实现
package com.qian.backtracing; /** * * n 皇后问题 * 在n×n格的国际象棋上摆放八个皇后,使其不能互相攻击, * 即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上,问有多少种摆法。 * @author QHF * */ public class NQuene { private static final int N = 4; private int[] x = new int ; int sum = 0; /** * 回溯寻找 * * @param n */ void backTack(int n) { if(n == N) { for (int i = 0; i < x.length; i++) { System.out.print("x["+i+"] = " +x[i] + ","); } System.out.println(); sum ++; } else { for (int i = 0; i < N; i++) { x = i; if(isPlace(n)) {//如果第n行可以放,继续看n + 1行 backTack(n + 1); } } } } /** * 在i行可否放置皇后 0 <= i <= n * @param i * @return */ private boolean isPlace(int i) { for (int j = 0; j < i; j++) { if(Math.abs(i - j) == Math.abs(x[i] - x[j]) || x[i] == x[j]) { return false; } } return true; } public static void main(String[] args) { NQuene quene = new NQuene(); quene.backTack(0); System.out.println(quene.sum); } }
不同数量皇后只需要修改N的值就可以了。
这里给出一种当N= 4的时候的输出:
x[0] = 1,x[1] = 3,x[2] = 0,x[3] = 2, x[0] = 2,x[1] = 0,x[2] = 3,x[3] = 1, 2
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