树状数组区间求和三种模型 [转]

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树状数组在区间求和问题上有大用，其三种复杂度都比线段树要低很多……有关区间求和的问题主要有以下三个模型（以下设A[1..N]为一个长为N的序列，初始值为全0）：

（1）“改点求段”型，即对于序列A有以下操作：

【1】修改操作：将A[x]的值加上c；

【2】求和操作：求此时A[l..r]的和。

这是最容易的模型，不需要任何辅助数组。树状数组中从x开始不断减lowbit(x)（即x&(-x)）可以得到整个[1..x]的和，而从x开始不断加lowbit(x)则可以得到x的所有前趋。代码：

void ADD(int x, int c)
{
for (int i=x; i<=n; i+=i&(-i)) a[i] += c;
}
int SUM(int x)
{
int s = 0;
for (int i=x; i>0; i-=i&(-i)) s += a[i];
return s;
}

操作【1】：ADD(x, c);

操作【2】：SUM(r)-SUM(l-1)。

（2）“改段求点”型，即对于序列A有以下操作：

【1】修改操作：将A[l..r]之间的全部元素值加上c；

【2】求和操作：求此时A[x]的值。

这个模型中需要设置一个辅助数组B：B[i]表示A[1..i]到目前为止共被整体加了多少（或者可以说成，到目前为止的所有ADD(i, c)操作中c的总和）。

则可以发现，对于之前的所有ADD(x, c)操作，当且仅当x>=i时，该操作会对A[i]的值造成影响（将A[i]加上c），又由于初始A[i]=0，所以有A[i] = B[i..N]之和！而ADD(i, c)（将A[1..i]整体加上c），将B[i]加上c即可——只要对B数组进行操作就行了。

【首先对于每个数A定义集合up(A)表示{A, A+lowestbit(A), A+lowestbit(A)+lowestbit(A+lowestbit(A))…} 定义集合down(A)表示{A, A-lowestbit(A), A-lowestbit(A)-lowestbit(A-lowestbit(A)) … , 0}。可以发现对于任何A

void ADD(int x, int c)
{
for (int i=x; i>0; i-=i&(-i)) b[i] += c;
}
int SUM(int x)
{
int s = 0;
for (int i=x; i<=n; i+=i&(-i)) s += b[i];
return s;
}

操作【1】：ADD(l-1, -c); ADD(r, c);

操作【2】：SUM(x)。

（3）“改段求段”型，即对于序列A有以下操作：

【1】修改操作：将A[l..r]之间的全部元素值加上c；

【2】求和操作：求此时A[l..r]的和。

这是最复杂的模型，需要两个辅助数组：B[i]表示A[1..i]到目前为止共被整体加了多少（和模型2中的一样），C[i]表示A[1..i]到目前为止共被整体加了多少的总和（或者说，C[i]=B[i]*i）。

对于ADD(x, c)，只要将B[x]加上c，同时C[x]加上c*x即可（根据C[x]和B[x]间的关系可得）；

而ADD(x, c)操作是这样影响A[1..i]的和的：若x

void ADD_B(int x, int c)
{
for (int i=x; i>0; i-=i&(-i)) B[i] += c;
}
void ADD_C(int x, int c)
{
for (int i=x; i<=n; i+=i&(-i)) C[i] += x * c;
}
int SUM_B(int x)
{
int s = 0;
for (int i=x; i<=n; i+=i&(-i)) s += B[i];
return s;
}
int SUM_C(int x)
{
int s = 0;
for (int i=x; i>0; i-=i&(-i)) s += C[i];
return s;
}
inline int SUM(int x)
{
if (x) return SUM_B(x) * x + SUM_C(x - 1); else return 0;
}

操作【1】：

ADD_B(r, c); ADD_C(r, c);

if (l > 1) {ADD_B(l - 1, -c); ADD_C(l - 1, -c);}

操作【2】：SUM(r) - SUM(l - 1)。