只用位运算来实现整数的加减乘除四则运算 （转载，还没有来得及整理！！！！）

听同学百度二面中，不准用四则运算操作符来实现四则运算。一想就想到了计算机组成原理上学过的。位运算的思想可以应用到很多地方，这里简单的总结一下用位运算来实现整数的四则运算。

首先回忆计算机组成原理学过的内容，数字在机器ALU运算逻辑单元内部是以补码形式进行运算的，因为补码有两个优势：

1、能做到符号位和数值部分一起运算，这样无需单独考虑符号。

2、能把减法运算转化为加法运算来处理。

3、补码的没有正0和负0之分，所以表示范围比原码和反码多1个。

问题一： 位运算实现加法

不管是十进制加法还是二进制加法，其加的的过程在每一位看分为‘和’、‘进位’两个部分。‘和’要留在当前位，‘进位’加入到下一位。

我们现在关注二进制加法。发现一个特点。

位的异或运算跟求'和'的结果一致：

异或 1^1=0 1^0=1 0^0=0

求和 1+1=0 1+0=1 0+0=0

位的与运算跟求'进位‘的结果一致：

位与 1&1=1 1&0=0 0&0=0

进位 1+1=1 1+0=0 0+0=0

于是我们决定用异或运算和与运算来表示加法。下面是两种形式的实现。

[cpp]
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int add(int a, int b) //递归形式  
{  
    if(b==0) //递归结束条件：如果右加数为0，即不再有进位了，则结束。  
        return a;  
    int s = a^b;  
    int c = (a&b)<<1; //进位左移1位，达到进位的目的。  
    return add(s, c); //再把'和'和'进位'相加。递归实现。  
}  

[cpp]
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int add(int a, int b) //非递归形式  
{  
    int s, c;  
    while(b != 0)  
    {  
        s = a^b;  
        c = (a&b)<<1;  
        a = s;  
        b = c;  
    }  
    return a;  
}  

问题二： 位运算实现减法

   减法其实是用加法来实现的。在ALU中，当我求a-b，其实是求[a-b]补。因为有[a-b]补=[a]补 - 补= [a]补+[-b]补。所以我就要先求出-b。求一个数的负的操作是将其连符号位一起取反然后加1。

   于是有办法做减法了：先把减数求负，然后做加法。

[b][cpp]
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int negtive(int i)  
{  
    return add(~i, 1);  
}  

[cpp]
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int subtraction(int a, int b) //减法运算：利用求负操作和加法操作  
{  
    return add(a, negtive(b));  
}  

问题三： 位运算实现乘法

乘法操作时即使用补码也要需要考虑符号位了，所以我要先把符号拿出来单独计算。为了方便，先引入两个工具函数，

[cpp]
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int getsign(int i) //取一个数的符号，看是正还是负  
{  
    return (i>>31);  
}  
  
int bepositive(int i) //将一个数变为正数，如果本来就是正，则不变；如果是负，则变为相反数。注意对于-2147483648，求负会溢出。  
{  
    if(i>>31)  
        return negtive(i);  
    else  
        return i;  
}  

做乘法的第一种思路：

很直观，就是用循环加法替代乘法。a*b，就是把a累加b次。时间复杂度为O(N)。

[cpp]
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int multiply(int a, int b)  
{  
    bool flag = true;  
    if(getsign(a) == getsign(b)) //积的符号判定  
        flag = false;  
  
    a = bepositive(a);//先把乘数和被乘数变为正数  
    b = bepositive(b);  
    int ans = 0;  
    while(b)  
    {  
        ans = add(ans, a);  
        b = subtraction(b, 1);  
    }  
  
    if(flag)  
        ans = negtive(ans);  
    return ans;  
}  

做乘法的第二种思路：

在二进制数上做乘法，如下图：



这一过程就是根据乘数的每一位为0或1时，将被乘数错位的加在积上。时间复杂度为O(logN)。

[cpp]
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int multiply(int a, int b)  
{  
    bool flag = true;  
    if(getsign(a) == getsign(b)) //积的符号判定  
        flag = false;  
  
    a = bepositive(a);  
    b = bepositive(b);  
    int ans = 0;  
    while(b)  
    {  
        if(b&1)  
            ans = add(ans, a);  
        a = (a<<1); //把a错位加在积上  
        b = (b>>1); //从最低位开始依次判断b的每一位  
    }  
  
    if(flag)  
        ans = negtive(ans);  
    return ans;  
}  

问题四： 位运算实现除法

做除法的第一种思路：

也比较直观，从被除数上减去除数，看能减多少次之后变得不够减。时间复杂度为O(N)。

[cpp]
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int division(int a, int b)  
{  
    if(b==0)  
        return 0;  
  
    bool flag = true;  
    if(getsign(a) == getsign(b)) //积的符号判定  
        flag = false;  
  
    a = bepositive(a);  
    b = bepositive(b);  
  
    int n = 0;  
    a = subtraction(a, b);  
    while(a>=0)  
    {  
        n = add(n, 1);  
        a = subtraction(a, b);  
    }  
  
    if(flag)  
        n = negtive(n);  
    return n;  
}  

做除法的第二种思路：

第一种方法实在太慢了。减法得减的快一些，不能一个一个减，于是采用类似二分法的思路，从除数*最大倍数开始测试，如果比被除数小，则要减去。下一回让除数的倍数减少为上一次倍数的一半，这样的直到倍数为1时，就能把被除数中所有的除数减去，并得到商。时间复杂度降低到O(logN)。

[cpp]
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int divide(int dividend, int divisor) {  
    bool flag = true;  
    if(getsign(dividend) == getsign(divisor)) //积的符号判定  
        flag = false;  
  
    unsigned int x = bepositive(dividend);  
    unsigned int y = bepositive(divisor);  
  
    int ans=0;  
    int i=31;  
    while(i>=0)  
    {    
        //比较x是否大于y*(1<<i)=(y<<i)，避免直接比较，因为不确定y*(1<<i)是否溢出    
        if( (x>>i) >= y)  //如果够减  
        {  
            ans = add(ans, (1<<i));   
            x = subtraction(x, (y<<i));  
        }  
        i = subtraction(i, 1);  
    }   
    if(flag)  
        ans = negtive(ans);  
    return ans;  
}  

注意细节：

1、注意考虑除法运算的特殊情况：除数不为0。

2、int整型的表示范围是-2147483648~+2147483647。所以在求负的时候，有一个数-2147483648是不可以求负的，因为int无法表示+2147483648这个数。对于乘法运算，如果出现了这个数，运算就会溢出。对于除法操作，如果被除数是-2147483648，那么不能直接求负。所以最好采用无符号数来进行运算。

3、2^31，2^30,......,64,32,16,8,4,2,1。为什么尝试用这样的倍数做减法就能把所有除数都减去呢？从二进制数的角度来看，这些权值就可以构成所有的整数，组成倍数不会有遗漏。从折半的思想来看，这样是一个逐步折半细化的过程。

有了上面的四则运算，再扩展别的运算就很容易了。

附加问题：只用加法实现1+2+3+...+n，

（循环、判断语句也不用）

1、利用递归来代替循环结构；

2、利用&&与运算的特性来代替if结构。

[cpp]
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int add(int n, int &sum)    
{    
    n && add(n-1, sum);    
    return (sum += n);    
}    

或者

[cpp]
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int  sum(int n)  
{  
    int k;  
    ((1 == n)&&(k = 1)) || (k = sum(n-1) + n);  
    return k;  
} 

加法运算：

[cpp]
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int AddWithoutArithmetic(int num1,int num2)  
{  
    if(num2==0) return num1;//没有进位的时候完成运算  
    int sum,carry;  
    sum=num1^num2;//完成第一步没有进位的加法运算  
    carry=(num1&num2)<<1;//完成第二步进位并且左移运算  
    return AddWithoutArithmetic(sum,carry);//进行递归，相加  
}  



简化一下：

[cpp]
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int Add(int a,int b)  
{  
    return b ? Add(a^b,(a&b)<<1) : a;  
    /*if(b) 
        return Add(a^b,(a&b)<<1); 
    else 
        return a;*/  
}  

上面的思路就是先不计进位相加，然后再与进位相加，随着递归，进位会变为0，递归结束。 

非递归的版本如下：

[cpp]
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int Add(int a, int b)  
{  
    int ans;  
    while(b)  
    {   //直到没有进位  
        ans = a^b;        //不带进位加法  
        b = ((a&b)<<1);   //进位  
        a = ans;  
    }  
    return a;  
}   

减法运算：

[cpp]
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//这个和加法一样了，首先取减数的补码，然后相加。  
int negtive(int a)   //取补码  
{  
    return Add(~a, 1);  
}  
int Sub(int a, int b)  
{  
    return Add(a, negtive(b));  
}   

正数乘法运算：

[cpp]
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//正数乘法运算  
int Pos_Multiply(int a,int b)  
{  
    int ans = 0;  
    while(b)  
    {  
        if(b&1)  
            ans = Add(ans, a);  
        a = (a<<1);  
        b = (b>>1);  
    }  
    return ans;  
}  

整数除法（正整数）

[cpp]
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//除法就是由乘法的过程逆推，依次减掉（如果x够减的）y^(2^31),y^(2^30),...y^8,y^4,y^2,y^1。减掉相应数量的y就在结果加上相应的数量。  
int Pos_Div(int x,int y)  
{  
    int ans=0;  
    for(int i=31;i>=0;i--)  
    {  
        //比较x是否大于y的(1<<i)次方，避免将x与(y<<i)比较，因为不确定y的(1<<i)次方是否溢出  
        if((x>>i)>=y)  
        {  
            ans+=(1<<i);  
            x-=(y<<i);  
        }  
    }  
    return ans;  
}  

完整的实现：

[cpp]
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// 加减乘除位运算   
// 程序中实现了比较大小、加减乘除运算。所有运算都用位操作实现   
// 在实现除法运算时，用了从高位到低位的减法   
// 具体如下，算法也比较简单，所以没有作注释  
#include<iostream>  
#include<cstdio>  
using namespace std;  
  
int Add(int a, int b)  
{  
    int ans;  
    while(b)  
    {  //直到没有进位  
        ans = a^b;        //不带进位加法  
        b = ((a&b)<<1);   //进位  
        a = ans;  
    }  
    return a;  
}  
  
//这个和加法一样了，首先取减数的补码，然后相加。  
int negtive(int a)   //取补码  
{  
    return Add(~a, 1);  
}  
int Sub(int a, int b)  
{  
    return Add(a, negtive(b));  
}  
  
// 判断正负   
int ispos( int a )   
{ //正  
    return (a&0xFFFF) && !(a&0x8000);  
}  
int isneg( int a )   
{ //负  
    return a&0x8000;  
}  
int iszero( int a )  
{ //0  
    return !(a&0xFFFF);  
}  
  
//正数乘法运算  
int Pos_Multiply(int a,int b)  
{  
    int ans = 0;  
    while(b)  
    {  
        if(b&1)  
            ans = Add(ans, a);  
        a = (a<<1);  
        b = (b>>1);  
    }  
    return ans;  
}  
  
//乘法运算  
int Multiply(int a,int b)  
{  
    if( iszero(a) || iszero(b) )  
        return 0;  
    if( ispos(a) && ispos(b) )  
        return Pos_Multiply(a, b);  
    if( isneg(a) )  
    {  
        if( isneg(b) )  
        {  
            return Pos_Multiply( negtive(a), negtive(b) );  
        }  
        return negtive( Pos_Multiply( negtive(a), b ) );  
    }  
    return negtive( Pos_Multiply(a, negtive(b)) );  
}  
  
//除法就是由乘法的过程逆推，依次减掉（如果x够减的）y^(2^31),y^(2^30),...y^8,y^4,y^2,y^1。减掉相应数量的y就在结果加上相应的数量。  
int Pos_Div(int x,int y)  
{  
    int ans=0;  
    for(int i=31;i>=0;i--)  
    {  
        //比较x是否大于y的(1<<i)次方，避免将x与(y<<i)比较，因为不确定y的(1<<i)次方是否溢出  
        if((x>>i)>=y)  
        {  
            ans+=(1<<i);  
            x-=(y<<i);  
        }  
    }  
    return ans;  
}  
  
//除法运算  
int MyDiv( int a, int b )  
{  
    if( iszero(b) )  
    {  
        cout << "Error" << endl;  
        exit(1);  
    }  
    if( iszero(a) )  
        return 0;  
    if( ispos(a) )  
    {  
        if( ispos(b) )  
            return Pos_Div(a, b);  
        return negtive( Pos_Div( a, negtive(b)) );  
    }  
    if( ispos(b) )  
        return negtive( Pos_Div( negtive(a), b ) );  
    return Pos_Div( negtive(a), negtive(b) );  
}   
  
  
// 比较两个正数的大小（非负也可）   
int isbig_pos( int a, int b )   
{  //a>b>0  
    int c = 1;  
    b = (a^b);  
    if( iszero(b) )  
        return 0;  
    while( b >>= 1 )  
    {  
        c <<= 1;  
    }  
    return (c&a);  
}   
  
// 比较两个数的大小   
int isbig( int a, int b )   
{ //a>b  
    if( isneg(a) )  
    {  
        if( isneg(b) )  
        {  
            return isbig_pos( negtive(b), negtive(a) );  
        }  
        return 0;  
    }  
    if( isneg(b) )  
        return 1;  
    return isbig_pos(a, b);  
}  

扩展：在不使用*、/、+、-、%操作符的情况下，如何求一个数的1/3？（用C语言实现）

使用位操作符并实现“+”操作

[cpp]
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// 替换加法运算符  
int add(int x , int y)  
{  
    int res;  
    while(y)       // 直到没有进位  http://blog.csdn.net/ojshilu/article/details/11179911
    {  
        res = x^y;       // 不带进位的加法  
        y = ((x&y)<<1);  // 进位  
        x = res;  
    }  
    return x;  
}  
  
int divideby3(int num)  
{  
    int sum = 0;  
    while(num > 3)  
    {  
        sum = add(num>>2 , sum);  
        num = add(num>>2 , num&3);  
    }  
    if(num == 3)  
        sum = add(sum , 1);  
    return sum;  
}  

原理：n = 4 * a + b; n / 3 = a + (a + b) / 3; 然后 sum += a, n = a + b 并迭代; 当 a == 0 (n < 4)时，sum += floor(n / 3); i.e. 1, if n == 3, else 0

本文转载：http://blog.csdn.net/ojshilu/article/details/11179911

　　　　　http://blog.csdn.net/hackbuteer1/article/details/7390093