位运算---只使用位运算实现整数的加减乘除

【题目】

　　给定两个32位整数a和b，可正、可负、可0.不能使用算术运算符，分别实现a和b的加减乘除。

【要求】

　　如果给定的a和b执行加减乘除的某些结果本来就会导致数据的溢出，那么你实现的函数不必对那些结果负责。

【基本思路】

　加法运算

　　使用位运算实现加法运算主要分为两个部分。先计算完全不考虑进位进行相加的结果，再计算只考虑进位的产生值。将两个结果相加就是最终的结果。

　　例如：

　　a:　　　　001010101

　　b:　　　　000101111

首先不考虑进位进行相加，结果为001111010，该结果其实就是a ^ b。

再考虑进位的产生值，结果为000001010，该结果其实就是(a & b)<< 1。

将1、2产生的结果再相加，此时依然要考虑两部分：不考虑进位和只考虑进位。

一直重复上述步骤，直到进位产生的值全部消失。

下面是使用c++实现的代码。

int add(int a, int b)
{
int sum = a;
while(b != 0)
{
sum = a ^ b;
b = (a & b) << 1;
a = sum;
}
return sum;
}

　减法运算

　　实现a - b只要实现a + (-b)即可。所以只要将a和b的相反数调用add函数就行。根据二进制数在机器中表达的规则，得到一个数的相反数，就是这个数的二进制数表达取反加1（补码）的结果。代码如下：

int minus1(int a, int b)
{
return add(a, add(~b, 1));
}

　乘法运算

　　用位运算实现乘法运算。a × b的结果可以写成 a∗20∗b0+a∗21∗b1+...a∗2i∗bi+...a∗231∗b31. 其中bi为0或1表示整数b的二进制表达中第i位的值（从右往左数）。该过程有点类似于求整数的N次方问题。具体实现参照如下代码：

int multi(int a, int b)
{
int res = 0;
while(b != 0)
{
if(b & 1 == 1)
res = add(res, a);
a <<= 1;
b >>= 1;
}
return res;
}

　除法运算

　　用位运算实现除法运算其实就是乘法的逆运算。定义 res 表示除法的结果。首先将a向右移位31位，然后看能不能容下b，如果能，说明a/231可以包含一个b，等价于a可以包含一个b∗231，令res的第31位为1，此时a的值应该为a−b∗231；如果不能容下b，令res的第31位为0，a的值不变；接下来将a向右移位30位是否能容下b……重复步骤直到a−b∗2i=0。

　　以上过程只适用于a和b都不是负数的情况下，当a或b为负数时，可以先将a和b转成正数，计算完之后再判断res的真实符号就行。

　　除法实现到这一步已经可以解决绝大多数情况了。但是我们知道，32位最小整数的绝对值要比最大整数大，所以如果a或b等于最小值，是不能转换成相对应的正数的。这时候需要分情况考虑：

如果a和b都为最小值，直接返回1

如果a不为最小值，而b为最小值，那么a/b = 0，直接返回0

如果a为最小值，而b不为最小值。这时我们对a无能为力，但是我们可以让a增大一点点，计算出一个结果然后再修正一下就可以得到最终的结果。处理过程如下：

　　<1>计算(a+1)/b，结果记为c

　　<2>计算c∗b

　　<3>计算(a−c∗b)/b，结果记为rest

　　<4>计算c+rest

代码实现如下：

int divide(int a, int b)
{
if(b == 0)
cout<<"Input Error!"<<endl;
else if(a == INT_MIN && b == INT_MIN)
return 1;
else if(b == INT_MIN)
return 0;
else if(a == INT_MIN)
{
int c = div(a+1, b);
return add(c, div(minus1(a, multi(c, b)), b));
}
else
return div(a, b);
}

int div(int a, int b)
{
a = a >= 0? a : add(~a, 1);
b = b >= 0? b : add(~b, 1);
int res = 0;
for(int i=31; i>-1; i=minus1(i, 1))
{
if((a>>i) >= b)
{
res = res | (1<<i);
a = minus1(a, b << i);
}
}
return a >= 0 && b >= 0? add(~res, 1) : res;
}