LCA(最近公共祖先)离线算法之tarjan

初步学习了一下用tarjan算法求最近公共祖先（LCA），下面是敝人的拙见：

tarjan是一个离线算法，所谓离线算法就是在所有询问均存储完之后再做操作。而tarjan算法对这些询问并不一定按存储时的顺序去操作，这就是tarjan算法的时间复杂度能达到O（n+q）的关键所在（q为询问的数量），至于是按什么顺序，待读者看完文章自然会明白。

首先我们来看到tarjan算法的原理：

既然要求LCA，自然是树形结构。首先讲一下，tarjan算法是基于DFS和并查集的，DFS用于查找待求节点的LCA，并查集用于存储结点间的父子关系。现在我们来看一棵树：



对于这颗树，假设现在我们要求结点 E 和结点 F 的LCA，显然是 D 。那么为什么 D 会是 E 和 F 的LCA呢？我们来思考一下，把 D 看作根节点作为一颗单独的树，E和F都是D结点的后代，所以D自然史Ｅ、F的最近公共祖先。可为什么不是B呢？E、F也是B的后代啊，当然是因为D最近啦。所以现在我们的任务就是找到一颗树（大树小树不管什么树都行），事得待求的两个节点同时存在于该树下。至于如何找，前面讲到tarjan算法是基于DFS的。我们现在来模拟一下DFS找LCA的过程，首先从根节点A开始，向下深搜；搜到B，则此时可把B当作一棵树（本来也是一棵树）向下深搜，这里需要记录的是我们当前是在B这颗树下搜索。知道搜索到D的时候，在以D为基础向下搜索的时候我们同时搜索到了待求点E、F，那么所求的LCA就是D了。DFS部分就到这了，下面是并查集部分。我们每搜到一棵树，都将其的祖先修改为本身，也就是自成一派。而在将这棵树的所有子树全都搜索完之后，如果找到了待求点，则此时记录的最近祖先就是该子树树根。随后再将其祖先修改为原本逻辑上的父亲，以此递归搜索。如果赤裸裸的文字难以理解的话，也可能是我描述不清，下面上赤裸裸的代码，跟着代码的思路自己写一遍的话很快就能学会了。

void tarjan(int x) {//x为当前搜到的结点
fa[x]=x;//将x的祖先修改为其本身
vis[x]=1;//标记x为已被搜索
int num=que[x].size();
/*这里que是一个vector数组,存储的是询问
出现在这里是要判断是否有关于x,即当前搜到的结点的寻问
*/
for(int i=0; i<num; i++) {//如果有关于x的询问，则找到与其对应的另一个节点
int y=que[x][i];
if(vis[y]) {//判断如果另一个节点也已访问过，则说明此时它们处于同一子树下可以求出它们的LCA
int lca=find(y);
/*这里需要注意的是，由于y在x之前已经被访问过了，
所以y的祖先就是它们的LCA，因为在搜索y这颗树时，
而如果是在搜索y这颗树的时候索搜到了x
则说明x是在y这颗树下，此时find(y)就是y，也是他们的LCA
而如果在搜索完y这棵树后并没有索搜到x，
则会将y的祖先修改为其原本逻辑上的父亲，
再继续做y的父亲这棵树的搜索（这是DFS的特点，不多描述），
如果在做y的父亲这棵树的搜索时搜索到了x，
则此时返回的find(x)也是他们的LCA，
而如果在搜索y的父亲的时候还是没有搜索到x，
下面自己推吧。
*/
LCA[x][y]=LCA[y][x]=lca;
//这里存储x、y的LCA，如果需要其他应用，也可以在这里操作
}
}
int size=son[x].size();
//son也是一个vector数组，存储x逻辑上的后代，即存储树形结构
for(int i=0; i<size; i++) {
int y=son[x][i];
tarjan(y);//这里递归搜索x的后代，类似深搜
fa[y]=x;//再将y搜索完以后把y的父亲修改为x
}
}

到此，基本的tarjan 思路就已经理清，也可能博主语言表达能力有限并没有阐述清楚，还望批评指正。在学习算法的过程中，如果单纯的看文字描述无法理解的话，其实可以先找一道裸题自己敲一敲，即使是对着题解或者模板敲也是有用的。这里提供一道裸题：codevs1036