最长上升子序列问题LIS

问题描述（poj2533）：对于给定的n个整数A1, A2…An, 从左到右的顺序选择尽可能多的数,组成一个上升子序列。(上升子序列可以理解为：删除0个或多个数, 其他数的顺序不变, 例如1, 6, 2, 3, 7, 5, 可以选出上升子序列1, 2, 3, 5 也可以选出 1, 6, 7)

poj2533 ： 求最长上升子序列的长度

法一：通过DP记忆化搜索求解问题，时间复杂度为O（n^2）

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<math.h>
#include<string.h>
#include<string>
#include <algorithm>
using namespace std;

int n, m, i, j, mx;
const int maxn = 1010;
int a[maxn], d[maxn];

//记忆化搜索
//状态：d[i]:第i个数的最长子序列的长度
//状态转移为d[i] = max(d[i], d[j] + 1);
int main()
{
while(~scanf("%d",&n)){              //共有n个数
for(i = 0; i < n;i++)           //录入n个数保存在数组a[]中
scanf("%d",&a[i]);
for (i = 0; i < n; i++)
{
d[i] = 1;                              //初始化数组d[]为1，
for(j = 0;j < i;j++)
if(a[j] < a[i])
d[i] = max(d[i], d[j] + 1); //第i个数的最长子序列长度 等于 比 第i个数小 的 数的最长子序列加1
}
mx = 0;
for(i = 0;i < n;i++)
mx = max (mx ,d[i]);
printf("%d\n",mx);
}
return 0;
}

法二：用DP二分搜索解决问题降低时间复杂度，该方法的时间复杂度为O（nlogn）

实现：开一个栈，每次取栈顶元素top和读到的元素temp做比较，如果temp > top 则将temp入栈；如果temp < top则二分查找栈中的比temp大的第1个数，并用temp替换它。 最长序列长度即为栈的大小top。

举例：原序列为1，5，8，3，6，7

栈为1，5，8，此时读到3，用3替换5，得到1，3，8； 再读6，用6替换8，得到1，3，6；再读7，得到最终栈为1，3，6，7。最长递增子序列为长度4。

如果想要输出最长有序子数列的话，可以在法二的基础上稍作改动。

用一个b【i】记录第i个元素在队列中的位置，然后逆向寻找，依次输出。

//二分搜索
#include <iostream>
#define SIZE 1001

using namespace std;

int main()
{
int i, j, n, top, temp;
int stack[SIZE];
cin >> n;

top = 0;
stack[0] = -1;//令栈顶元素为-1
for (i = 0; i < n; i++)
{
cin >> temp;
/* 比栈顶元素大数就入栈 */
if (temp > stack[top])
{
stack[++top] = temp;
}
else
{
int low = 1, high = top;
int mid;
/* 二分检索栈中比temp大的第一个数 */
while (low <= high)
{
mid = (low + high) / 2;
if (temp > stack[mid])
{
low = mid + 1;
}
else
{
high = mid - 1;
}
}
/* 用temp替换 */
stack[low] = temp;
}
}

/* 最长序列数就是栈的大小 */
cout << top << endl;

//system("pause");
return 0;
}