最长上升子序列(LIS)问题
2015-05-13 23:56
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最长上升子序列(LIS)问题
此处我们只讨论严格单调递增的子序列求法。前面O(n2)的算法我们省略掉,直接进入O(nlgn)算法。
方法一:dp + 树状数组
定义dp[i]:末尾数字是i时最长上升子序列转移方程:dp[i]=max{dp[k]|k<i}+1
代码如下:
@Frosero #include <cstdio> #include <iostream> #include <cstring> #define MAXN 100010 using namespace std; int tree[MAXN*4]; int read(int pos){ int ans = 0; while(pos > 0){ ans = max(ans,tree[pos]); pos -= pos & -pos; } return ans; } void updata(int pos,int val){ while(pos < MAXN*4){ tree[pos] = max(tree[pos],val); pos += pos & -pos; } } int a[MAXN],n,dp[MAXN],ans = 0; int main(){ scanf("%d",&n); for(int i=0;i<n;i++) scanf("%d",&a[i]); memset(tree,0,sizeof(tree)); for(int i=0;i<n;i++){ dp[a[i]] = read(a[i] - 1) + 1; updata(a[i],dp[a[i]]); ans = max(ans,dp[a[i]]); } printf("%d\n",ans); return 0; }
方法二:dp + 单调队列
定义dp[i]:末尾数字是下标为i的数字时最长上升子序列定义单调队列g[i]:上升子序列长度为i时最后一位的最小值
代码如下:
@Frosero #include <cstdio> #include <iostream> #include <cstring> #define MAXN 100010 #define INF 0x3f3f3f3f using namespace std; int a[MAXN],n,dp[MAXN],g[MAXN],ans = 0; int main(){ scanf("%d",&n); for(int i=0;i<n;i++) scanf("%d",&a[i]); for(int i=0;i<=n;i++) g[i] = INF; for(int i=0;i<n;i++){ int k = lower_bound(g+1,g+n+1,a[i]) - g; dp[i] = k; g[k] = a[i]; ans = max(ans,k); } printf("%d\n",ans); return 0; }
方法三:单调队列
定义单调队列g[i]:上升子序列长度为i时最后一位的最小值代码如下:
@Frosero #include <cstdio> #include <iostream> #include <cstring> #define MAXN 100010 #define INF 0x3f3f3f3f using namespace std; int a[MAXN],n,g[MAXN],ans = 0; int main(){ scanf("%d",&n); for(int i=0;i<n;i++) scanf("%d",&a[i]); for(int i=0;i<=n;i++) g[i] = INF; for(int i=0;i<n;i++){ int k = lower_bound(g+1,g+n+1,a[i]) - g; g[k] = a[i]; ans = max(ans,k); } printf("%d\n",ans); return 0; }
囧,相信大家也发现了第二个算法中dp数组事实上貌似并没有什么用了吧。但事实上他在过程中为我们维护了一些信息,在某些习题中我们恰好就要利用到他们了。
还有一点就是如果我们要寻找最长单调不减子序列,上面代码只要稍微更改一下即可,请读者自己思考吧,哈哈 ^.^ 加油!
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