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康托展开和康托逆展开

2016-08-05 20:08 302 查看
康托展开

  康托展开的公式是 X=an*(n-1)!+an-1*(n-2)!+...+ai*(i-1)!+...+a2*1!+a1*0! 其中,ai为当前未出现的元素中是排在第几个(从0开始)。

  这个公式可能看着让人头大,最好举个例子来说明一下。例如,有一个数组 s = ["A", "B", "C", "D"],它的一个排列 s1 = ["D", "B", "A", "C"],现在要把 s1 映射成 X。n 指的是数组的长度,也就是4,所以

X(s1) = a4*3! + a3*2! + a2*1! + a1*0!

关键问题是 a4、a3、a2 和 a1 等于啥?

a4 = "D" 这个元素在子数组 ["D", "B", "A", "C"] 中是第几大的元素。"A"是第0大的元素,"B"是第1大的元素,"C" 是第2大的元素,"D"是第3大的元素,所以 a4 = 3。

a3 = "B" 这个元素在子数组 ["B", "A", "C"] 中是第几大的元素。"A"是第0大的元素,"B"是第1大的元素,"C" 是第2大的元素,所以 a3 = 1。

a2 = "A" 这个元素在子数组 ["A", "C"] 中是第几大的元素。"A"是第0大的元素,"C"是第1大的元素,所以 a2 = 0。

a1 = "C" 这个元素在子数组 ["C"] 中是第几大的元素。"C" 是第0大的元素,所以 a1 = 0。(因为子数组只有1个元素,所以a1总是为0)

所以,X(s1) = 3*3! + 1*2! + 0*1! + 0*0! = 20

A B C | 0

A C B | 1

B A C | 2

B C A | 3

C A B | 4

C B A | 5

通过康托逆展开生成全排列

  如果已知 s = ["A", "B", "C", "D"],X(s1) = 20,能否推出 s1 = ["D", "B", "A", "C"] 呢?

  因为已知 X(s1) = a4*3! + a3*2! + a2*1! + a1*0! = 20,所以问题变成由 20 能否唯一地映射出一组 a4、a3、a2、a1?如果不考虑 ai 的取值范围,有

3*3! + 1*2! + 0*1! + 0*0! = 20

2*3! + 4*2! + 0*1! + 0*0! = 20

1*3! + 7*2! + 0*1! + 0*0! = 20

0*3! + 10*2! + 0*1! + 0*0! = 20

0*3! + 0*2! + 20*1! + 0*0! = 20

等等。但是满足 0 <= ai <= n-1 的只有第一组。可以使用辗转相除的方法得到 ai,如下图所示:



知道了a4、a3、a2、a1的值,就可以知道s1[0] 是子数组["A", "B", "C", "D"]中第3大的元素 "D",s1[1] 是子数组 ["A", "B", "C"] 中第1大的元素"B",s1[2] 是子数组 ["A", "C"] 中第0大的元素"A",s[3] 是子数组 ["C"] 中第0大的元素"C",所以s1 = ["D", "B", "A", "C"]。

这样我们就能写出一个函数 Permutation3(),它可以返回  s 的第 m 个排列。

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