康托展开和康托展开的逆运算

八数码问题不用康托展开判断重复8s，用康托展开判断重复30MS。康托展开最大最明显的作用就是在判断状态是否重复方面了，其实属于hash的一个技巧。



一、康托展开
【问题背景】对于一个有n个不同元素的集合{1,2,3,4,...,n}的从小到大排序（从大到小 同理）的全排列 显然它有n！项。如n=4，那么就有4！=4×3×2×1=24项。

与自然数1，2，3，4，-----n！与之一一对应。比如 1～4四个数的全排列按字典序如下：

1234：第一个 1243：第二个 1324：第三个 1342：第四个 1423：第五个 1432：第六个

2134：第七个 2143：第八个 2314：第九个 2341：第十个 2413：第11个 2431：第12个

3124：第13个 3142：第14个 3214：第15个 3241：第16个 3412：第17个 3421：第18个

4123：第19个 4132：第20个 4213：第21个 4231：第22个 4312：第23个 4321：第24个

【主要问题】

例1：求4132是第几个排列？ 看上面就知道答案就是：20。 那么是怎么算的呢？

解：总共4个数，所以n=4.ans:=0;

第一个数是4，研究比4小的并且还没有出现过的数有3个：1，2，3。那么ans:=ans+3*(n-1)!

所以 ans:= ans+ 3* 3*2*1 =18

第二个数是1，研究比1小的并且还没有出现过的数为 0个。那么ans:=ans+0 * (n-2)!，那么ans不变。

第三个数是3，研究比3小的并且还没有出现过的数为1个：1，2。那么ans:=ans+ 1* (n-3)!,那么ans:=18+1* 1=19

第四个数是2，研究比2小的并且还没有出现过的数为0个。那么ans不变。其实最后一个可以不研究了，比它大和比它小的全都出现过了。最后ans怎么等于19啊？？代表它前面有19个排列嘛，那么4132自己就是第20个罗（ 最后ans:=ans+1）

例2：问45231是第几个排列？

4 5 2 3 1

ans:= 3*4! + 3*3! + 1*2! + 1*1! + 0*0! + 1 =94

练习

第一题：找出35142在1～5从小到大全排序中的位置？

第二题：找出6482731在1～8从小到大全排列中的位置？

第三题：找出35142在1～5从大到小全排序中的位置？

第四题：找出6482731在1～8从大到小全排列中的位置？

康托展开

<span style="font-size:18px;">　　int fac[] = {1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880};
　　int cantor(int[] a, int k) {
　　int i, j, tmp, num = 0;
　　for (i = 0; i < k; i++) {
　　tmp = 0;
　　for (j = i + 1; j < k; j++)
　　if (a[j] < a[i])tmp++;
　　num += fac[k - i - 1] * tmp;
　　}
　　return num;
　　}</span>

二、康托展开的逆运算
例3：1～5从小到大全排列中，找出第96个排列？

解：首先设x1x2x3x4x5, (x1等于？不知道)，用96-1得到95，表示x1x2x3x4x5前面有95个序列。

第一个数x1，假设x1目前有k个比x1小的并且还没有出现过的数，那么

k:= 95 div (n-1)! = 95 div24=3, 也就是有3个比x1小并且没有出现过的数，那么x1=4.

95变成95-3×24=23

第二个数x2，假设x2目前有k个比x2小的并且还没有出现过的数，那么

k:= 23 div (n-2)! = 23 div 6= 3, 也就是有3个比x2小并且没有出现过的数，那么x2=5.（有3个数比它小的数是4，但4已经在之前出现过了，所以是5）

23变成 23 – 3 * 6 = 5

第三个数用23去除3! 得到3余5

第四个数用5去除2!得到2余1

第五个数就是最后还没有出现的那个。

所以这个数是45321

练习：

第五题：8个数从小到大排序，求第28017个排列？

第六题：8个数从大到小排序，求第14302个排列？

注意 8！= 42320

逆康托展开：

<span style="font-size:18px;">　　int fac[] = {1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880};
　　int[] uncantor(int x, int k) {
　　int res[] = new int[9];
　　int i, j, l, t;
　　boolean h[] = new boolean[12];
　　for (i = 1; i <= k; i++) {
　　t = x / fac[k - i];
　　x -= t * fac[k - i];
　　for (j = 1, l = 0; l <= t; j++)
　　if (!h[j])l++;
　　j--;
　　h[j] = true;
　　res[i - 1] = j;
　　}
　　return res;
　　}</span>

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