[POJ 3735] Training little cats （矩阵幂+矩阵乘法的优化）

POJ - 3735

给定一个初始全为 0的序列，有三种操作

给第 i个数加一，令第 i个数清零，交换第 i和第 j个数

给定一个操作序列，问重复这个操作序列 M次后，初始序列的情况

首先 M高达 109，所以肯定要用矩阵优化

然后有几个trick

K有 100, 极限情况下会爆 int，所以要开 longlong

构造矩阵的时候，不能简单地用变换矩阵去乘，不然复杂度就是 (N4)的

由于都是简单的初等变换，所以手动构造即可

总的复杂度是 O(N3logM)的，接近 107

这在 POJ上是过不了的，所以要加一个很重要的优化

for(int k=0; k<siz; k++)
for(int i=0; i<siz; i++) if(n[i][k])
for(int j=0; j<siz; j++)
tem.n[i][j] += n[i][k]*v.n[k][j];

调整枚举顺序，当n[i][k]为 0的时候，不进行乘法，

由于这个矩阵很稀疏，所以能优化很多时间

#pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cctype>
#include <map>
#include <set>
#include <queue>
#include <bitset>
#include <string>
using namespace std;
typedef pair<int,int> Pii;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
typedef double DBL;
typedef long double LDBL;
#define MST(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define CLR(a) MST(a,0)
#define SQR(a) ((a)*(a))
#define PCUT puts("----------")

struct Matrix
{
LL n[105][105];
int siz;
Matrix(int _n){siz=_n; CLR(n);}
void E(){CLR(n); for(int i=0; i<siz; i++) n[i][i]=1;}
Matrix operator * (const Matrix &v) const
{
Matrix tem(siz);
for(int k=0; k<siz; k++) for(int i=0; i<siz; i++) if(n[i][k]) for(int j=0; j<siz; j++)
tem.n[i][j] += n[i][k]*v.n[k][j];
return tem;
}
};
int N,M,K;
Matrix Pow(Matrix,int);
Matrix mat(0);

int main()
{
#ifdef LOCAL
freopen("in.txt", "r", stdin);
//  freopen("out.txt", "w", stdout);
#endif

while(~scanf("%d%d%d", &N, &M, &K))
{
if(N==0 && M==0 && K==0) break;
char opt; int x,y;
mat.siz=N+1;
mat.E();
for(int k=0; k<K; k++)
{
scanf(" %c%d", &opt, &x);
if(opt=='g')
{
for(int i=0; i<=N; i++) mat.n[x-1][i] += mat.n
[i];
}
if(opt=='e')
{
for(int i=0; i<=N; i++) mat.n[x-1][i] = 0;
}
if(opt=='s')
{
scanf("%d", &y);
for(int i=0; i<=N; i++) swap(mat.n[x-1][i], mat.n[y-1][i]);
}
}
mat = Pow(mat,M);
for(int i=0; i<N; i++) printf("%lld ", mat.n[i]
);
puts("");
}
return 0;
}

Matrix Pow(Matrix mat, int n)
{
Matrix res(mat.siz);
res.E();
while(n)
{
if(n&1) res = mat*res;
mat = mat*mat;
n>>=1;
}
return res;
}