NOIP2013提高组 火柴排队（重庆一中高2018级信息学竞赛测验6） 解题报告

做题思路（错解）：拿到这道题时，根据排序不等式（设有两个有序数组：


 及 

，则可以推出

 
(顺序和≥乱序和≥逆序和)）可知，要使两列火柴的距离最小，则两列火柴中对应的火柴高度应处在所在序列的同一“位置”（高度在所在序列由小到大排序后位置相同）。虽然知道了这一结论，但在考试时仍不太清楚准确的解法，于是按着自己的想法，写出了错误程序。

解题思路（正解）：为了在排序后能找到每个火柴原来的位置，所以用结构体来存储火柴的高度和编号。先将两列火柴分别按高度由小到大排序，此时两列火柴的距离最小，只需计算出它们由原来的位置改变到现在的位置的交换次数即可。为了方便计算，先将两列火柴排序后的编号转存到另一结构体中（使得两列火柴中每根火柴的位置对应相同），同样为了方便计算，可以将第一列火柴的编号由小到大排序（恢复至输入时的位置），则答案即为第二列火柴要恢复至输入时的位置的交换次数。计算交换次数时，最简单的算法当然是暴力枚举，但面对较大的数据规模，显然会超时，因为第二列火柴要恢复至输入时的位置（编号由小到大）的交换次数就是此时第二列火柴编号的逆序对数量，所以可以使用分治算法中的归并排序来进行优化，时间复杂度为O(n*log2n)。

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
const int maxn=100005;
const int mo=99999997;
int N;
struct data1 //记录火柴
{
int h,id;
};
data1 a1[maxn],a2[maxn];
struct data2 //记录两列火柴对应位置的编号
{
int id1,id2;
};
data2 b[maxn];
bool cmp1(data1 aa,data1 bb)
{
return aa.h<bb.h;
}
bool cmp2(data2 aa,data2 bb)
{
return aa.id1<bb.id1;
}
int t[maxn];
int msort(int x,int y) //归并排序（计算逆序对数量）
{
if(x>=y) return 0;
int m=(x+y)/2;
int t1=msort(x,m);
int t2=msort(m+1,y);
int t3=0;
int i,j,k;
for(i=x,j=m+1,k=x;i<=m && j<=y;)
{
if(b[i].id2>b[j].id2)
{
t3=(t3+m-i+1)%mo;
t[k++]=b[j++].id2;
}
else
t[k++]=b[i++].id2;
}
while(i<=m) t[k++]=b[i++].id2;
while(j<=y) t[k++]=b[j++].id2;
for(int i=x;i<=y;i++)
b[i].id2=t[i];
return (t1+t2+t3)%mo;
}
int main()
{
//freopen("match.in","r",stdin);
//freopen("match.out","w",stdout);
scanf("%d",&N);
for(int i=1;i<=N;i++)
{
scanf("%d",&a1[i].h);
a1[i].id=i;
}
for(int i=1;i<=N;i++)
{
scanf("%d",&a2[i].h);
a2[i].id=i;
}
sort(a1+1,a1+1+N,cmp1); //将两列火柴按高度由小到大排序
sort(a2+1,a2+1+N,cmp1);
for(int i=1;i<=N;i++) //将两列火柴的编号进行转存
{
b[i].id1=a1[i].id;
b[i].id2=a2[i].id;
}
sort(b+1,b+1+N,cmp2); //按第一列火柴编号由小到大排序（恢复至输入时的顺序）
int ans=msort(1,N);
printf("%d\n",ans);
return 0;
}


考后反思：对于一道自己不太有感觉的题，要多想想学过的知识，将题目与自己熟悉的知识联系起来。