poj 3744 Scout YYF I (概率DP&矩阵快速幂)★

题意：

　　你在一条布满地雷的道路上，开始在坐标1。每次有概率P向前走一步，有概率1-P向前走两步。道中路某几个点上会有地雷，问你安全通过的概率。地雷数N<=10，坐标范围在100000000内。

思路：

假设dp[i]表示安全走到i点的概率，那么dp[i]=P*dp[i-1]+(1-P)*dp[i-2]。很简单的一个转移，但是坐标范围太大了。直接递推爆内存，而且肯定也会超时。

我们换一个思路，假设x[i]表示第i个地雷的坐标。对于任何两个地雷x[i-1]+1~~x[i]之间，只会有一个地雷，那就是x[i]。我们安全通过该段的概率等于1 -踩到x[i]的概率。为什么可以这样呢。

我们前x[i]-1个位置看成一个位置。下一个位置只有两种可能。1.走到x[i]。2.走到x[i]+1。所以安全出来的概率就为1-踩到x[i]的概率。

也就是说，我们将n个地雷分成n段分别处理。每次都可以得到一个安全通过某一段的概率，最后将这些概率乘起来就是答案了。

由于数据比较大。

于是我们用矩阵来优化一下。

我们为这个dp[i]=P*dp[i-1]+(1-P)*dp[i-2]构造一个矩阵

| P ,1-P |

| 1 , 0   |

那么dp
就是该矩阵N次方后的第v[0,0]个元素。

因为。

|dp
  |           |p      1-p|^n-1     |dp[1]|

                  =                           *

|dp[n-1]|          |1          0|            |dp[0]|

而dp[1]=p。dp[0]=1。所以相当于矩阵的N次方去v[0,0]。

通过快速幂，很快就可以求出答案了。

#include <iostream>
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
using namespace std;

class tra//矩阵结构
{
public:
int row,col;//行列
double v[3][3];
tra operator*(tra &tt)//矩阵相乘。前面矩阵的列必须和后面矩阵的行相同
{
int i,j,k;
tra temp;
temp.row=row;
temp.col=tt.col;
for(i=0; i<row; i++)
for(j=0; j<tt.col; j++)
{
temp.v[i][j]=0;
for(k=0; k<col; k++)
temp.v[i][j]+=v[i][k]*tt.v[k][j];
}
return temp;
}
};
int pos[15];
tra pow_mod(tra x,int i)//矩阵快速幂
{
tra base=x,ans;
ans.row=ans.col=2;//ans初始化为
ans.v[0][0]=ans.v[1][1]=1; //|1 0|
ans.v[0][1]=ans.v[1][0]=0; //|0 1|相当于实数里的1
while(i)
{
if(i&1)
ans=ans*base;
base=base*base;
i>>=1;
}
return ans;
}
int main()
{
tra x,t;
int i,n;
double p,ans;
pos[0]=0;

while(~scanf("%d%lf",&n,&p))
{
for(i=1;i<=n;i++)
scanf("%d",pos+i);
sort(pos+1,pos+n+1);
if(pos[1]==1)
{
printf("%.7lf\n",0.0);
continue;
}
x.row=x.col=2;
x.v[0][0]=p;
x.v[0][1]=1-p;
x.v[1][0]=1;
x.v[1][1]=0;
ans=1;
for(i=1;i<=n;i++)
{
if(pos[i]-pos[i-1]==0)
continue;
t=pow_mod(x,pos[i]-pos[i-1]-1);
ans*=(1-t.v[0][0]);
}
printf("%.7lf\n",ans);
}
return 0;
}