LightOJ 1220 Mysterious Bacteria

Problem： LightOJ 1220 Mysterious Bacteria

题意：输入一个 x（2 <= |x| <= 2^32），求满足 x=b^p 的最大的 p（x，b，p都是整数）

暴力版：

枚举b或者枚举p，然后求另外一个

枚举b只要从小到大枚举 [ 2，2^16 ] 范围，如果还不出答案，说明有在（2^16，2^32）的大质因子，答案是1

枚举p就从大到小枚举 [ 32，2 ] 范围，然后二分找b，没出答案就同上

分解质因数版：

每个数 x 都可以被拆成其所有质因子的幂的乘积：x = a1^b1 * a1^b2 * a3^b3 * … * an^bn

而题目要求把 x 拆成 x = b^p 的形式，想到：当两个幂指数相同的时候，可以合并

即：a^c * b^c = (a*b)^c

故考虑求出b1，b2，…，bn的公因数，记为c

则：b1=d1*c，b2=d2*c，…，bn=dn*c

x = （a1^d1）^c * （a2^d2）^c * …*（an^dn）^c = （a1^d1 * a2^d2 *…* an^dn）^c = b^p

因为要最大的p，所以c是最大公因数

首先用埃式筛法打个 [ 2，2^16 ] 范围的素数表，因为 x 的范围是 2^32 以内的，如果 x 有在（2^16，2^32）内的质因子，那该质因子的指数一定是1，否则超范围

所以在 x 在素数表内还没有拆剩1，说明有（2^16，2^32）内的质因子，说明有个 bi=1 ，c也必然是1

如果 x<0 ，则 p 不能是偶数，因为只有负数的奇次幂才是负数，要把 c 中所有的2放到括号里面，让 c 成为奇数再输出

测试过在 [ 2，2^16 ] 内的质数6000+个，不到7000

1. 分开 x<0 和 x>0 的情况的暴力

#include <stdio.h>
typedef long long ll;

ll fast_pow(ll a,int b)
{
ll ans=1;
while(b)
{
if(b & 1) ans *= a;
a *= a;
b >>= 1;
}
return ans;
}

int main()
{
int iTom, kase;
scanf("%d", &iTom);
for(kase=1; kase<=iTom; kase++)
{
ll x;
int b, p, no = 1;
scanf("%lld", &x);
if(x > 0)
{
for(b=2; b<65537 && no; b++)
for(p=1; p<33; p++)
if(x == fast_pow(b,p))
{
no = 0;
printf("Case %d: %d\n", kase, p);
break;
}
if(no) printf("Case %d: 1\n", kase);
}
else
{
for(b=-2; b>-65537 && no; b--)
for(p=1; p<33; p++)
i
4000
f(x == fast_pow(b,p))
{
no = 0;
printf("Case %d: %d\n", kase, p);
break;
}
if(no) printf("Case %d: 1\n", kase);
}
}
return 0;
}

2. 统一 x>0 和 x<0 情况的暴力

#include <stdio.h>
#include <math.h>
int main()
{
int iTom, kase;
scanf("%d", &iTom);
for(kase=1; kase<=iTom; kase++)
{
long long x;
int b, ans = 1, sign = 1, end;
scanf("%lld", &x);
if(x<0)
{
sign = -1;
x = -x;
}
end = sqrt(x);
for(b=2; b<=end; b++)
{
int p = 0;
long long m = x;
while(m % b == 0)
{
m /= b;
p++;
}
if(m == 1) // 说明x已被完全分解
if(sign<0 && p%2==0) // 如果x是负数，则不可能是偶数次幂，要跳过
continue;
else if(ans < p)
{
ans = p;
break;
}
}
printf("Case %d: %d\n", kase, ans);
}
return 0;
}

3. 分解质因数正解版

#include <stdio.h>
#define SIZE 65536 // 2^16 = 65536

int prime[7000], top;  // prime[]装素数，top是素数个数
int num[SIZE+1] = {0};

/* 埃式筛法打素数表 */
void da_biao()
{
int i, j;
for(top=0,i=2; i<=SIZE; i++)
if(~num[i])
{
prime[top++] = i;
for(j=i<<1; j<=SIZE; j+=i)
num[j] = -1;
}
}

int gcd(int a,int b)
{
return b ? gcd(b, a%b) : a;
}

int main()
{
int iTom, kase;
da_biao();
scanf("%d", &iTom);
for(kase=1; kase<=iTom; kase++)
{
long long x;
int sign = 1, i, ans = 0, tmp;
scanf("%lld", &x);
if(x < 0)
{
x = -x;
sign = -1;
}
for(i=0; i<top && x>1; i++)
if(x % prime[i] == 0)
{
tmp = 0;
while(x % prime[i] == 0)
{
x /= prime[i];
tmp++;
}
ans = gcd(tmp,ans);
}
if(x > 1) // 还没被拆完
ans = 1;
else if(sign < 0) // 如果x是负数，不能是偶次幂
while(ans & 1 ^ 1)
ans >>= 1;
printf("Case %d: %d\n", kase, ans);
}
return 0;
}