第二篇博客，看来以后要每天一篇的样子呢！

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最小生成树

今天我们学习了最小生成树还有莫名其妙的次小生成树！

两个新的算法：Prim算法和Kruskal算法。

1.Prim算法

原理：

设G=(V，E)是一个有向连通图，U是顶点集V的一个子集

如果：

1、边(u，v)
， u∈U且v∈(V-U)，一个顶点在U中、另一个端点不在U中

2、(u，v)是满足条件1最小权值的边，那么一定存在G的一棵最小生成树包含(u，v)

操作：

•初始令U={v0}(v0
ÎV), TE={}

•在所有uÎU,
vÎV-U的边(u,v)ÎE中，找一条权最小的边(u0,v0)
•将(u0,v0)并入集合TE，同时v0并入U
•重复上述操作直至U等于V
•T=(V, {TE})为N的最小生成树

•如何表示集合U与集合V-U？

可以使用vis[]数组

vis[i]==1
表示在集合U中；

vis[i]==0
表示在集合V-U中；

•如何来找符合条件边？

辅助数组：minn[]

minn[i]用于记录节点i到达点集U的最短权值

算法框架：

1、任选一个点加入到集合U中；

2、选出N-1条边：

for(i=1;i<=n-1;i++){

       1)找到最小的边的u-v；

       2)将v加入到集合U中；

        3)将未加入U集合的点的minn值更新；

}

2.kruskal算法：

  ①初始G(V,{})，即包含所有节点，边为空

②将原图中所有的边按权值从小到大排序
③从权值最小的边开始，如果这条边连接的两个节点于图G中不在同一个连通分量中，则添加这条边到图G中
④重复3，直至图G中所有的节点都在同一个连通分量中
  注：用并查集判断是否在同一个联通分量中！

算法框架：

1.初始化并查集。father[x]=x。
2.tot=0
3.将所有边用快排从小到大排序。
4.计数器 k=0;
5.for (i=1; i<=M; i++)     
//循环所有已从小到大排序的边
  if 
这是一条u,v不属于同一集合的边(u,v)(因为已经排序，所以必为最小)，

    {

    　①合并u,v所在的集合，相当于把边(u,v)加入最小生成树。

　   ②tot=tot+W(u,v)

      ③k++

    
 ④如果k=n-1,说明最小生成树已经生成，则break;

    }

6.结束，tot即为最小生成树的总权值之和。

次小生成树

次小生成树与最小生成树只相差一条边

证明有一大堆在此不做赘述。

求次小生成树的过程：

1、找到最小生成树；

2、找到所相差的边；（枚举）

3、替换；（如果非最小生成树中的边为(u,v)，则替换最小生成树u->v的路径上最长的那条）

u->v路径上的最长边：

prim是每次增加一个结点s,
在此需要保存节点和其父节点，

则最大权值，要么是新加入的边，要么是父节点到起始点的采用DP算出来的距离。

嗯。。。次小生成树有点点麻烦，需要多多练习。