【博弈+二分图匹配】[NOI2011]兔兔与蛋蛋游戏
2016-07-12 22:12
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题目描述
Description
Input
输入的第一行包含两个正整数 n、m。接下来 n行描述初始棋盘。其中第i 行包含 m个字符,每个字符都是大写英文字母"X"、大写英文字母"O"或点号"."之一,分别表示对应的棋盘格中有黑色棋子、有白色棋子和没有棋子。其中点号"."恰好出现一次。
接下来一行包含一个整数 k(1≤k≤1000) ,表示兔兔和蛋蛋各进行了k次操作。
接下来 2k行描述一局游戏的过程。其中第 2i – 1行是兔兔的第 i 次操作(编号为i的操作) ,第2i行是蛋蛋的第i次操作。每个操作使用两个整数x,y来描述,表示将第x行第y列中的棋子移进空格中。
输入保证整个棋盘中只有一个格子没有棋子, 游戏过程中兔兔和蛋蛋的每个操作都是合法的,且最后蛋蛋获胜。
Output
输出文件的第一行包含一个整数r,表示兔兔犯错误的总次数。接下来r 行按递增的顺序给出兔兔“犯错误”的操作编号。其中第 i 行包含一个整数ai表示兔兔第i 个犯错误的操作是他在游戏中的第 ai次操作。
1 ≤n≤ 40, 1 ≤m≤ 40
Sample Input
样例一:1 6
XO.OXO
1
1 2
1 1
样例二:
3 3
XOX
O.O
XOX
4
2 3
1 3
1 2
1 1
2 1
3 1
3 2
3 3
样例三:
4 4
OOXX
OXXO
OO.O
XXXO
2
3 2
2 2
1 2
1 3
Sample Output
样例一:1
1
样例二:
0
样例三:
2
1
2
样例1对应图一中的游戏过程
样例2对应图三中的游戏过程
HINT
Source
Day2分析
75分做法
我们把操作看做是空格在移动。我们做这道题最先想到的就是,操作是否可能成环?
答案是否定的。我们假设环长为n,显然n为偶数,因为环中的操作总是成对出现的,即有向上就要有向下,有向左就有向右。假设操作为A1,A2,A3…An,显然操作A1和An移入空格的是同一个棋子,但是操作的人却不一样,显然是不可能的,所以操作不可能成环。
既然不能成环,而且数据还这么小,似乎搜索很好写。敲一发,75分到手。
满分做法
我们发现,移动路径上,相邻两个点的颜色总是不一样的,这然我们想到了二分图。我们在相邻而且颜色不相同的两个点之间连边,由于空格能够走到白色格子,我们不妨把空格看做黑色。
先手在当前点能够获胜的条件是从当前点出发,能够找到一条路径长度是奇数而且先手一定能够使路径长度为奇数。
由于是二分图,那我们求个最大匹配试试。
我们发现,匈牙利算法增广时的交错轨不就是一条长度为奇数的路径吗。
那么我们来思考一下两种情况。
如果当前点不一定最大匹配上,那么它的邻接点一定在最大匹配上。 我们假设它的邻接点不一定在最大匹配上:
存在邻接点不在时,当前点也不在。那么久可以增广了,和假设是最大匹配不符。
如果邻接点和当前点一定有一个在,那么邻接点和当前点一定还通过一个有偶数条边的交错轨相连,加上这条边就是一个奇环了,不是二分图。
如果当前点一定在最大匹配上,则一定获胜
首先,当前点一定在一条增广路径上,即在一条交错轨上。这条交错轨一定是奇数的,而且被这个点分成了一边是奇数,一边是偶数。但是奇数那一边也有可能有一条偶数的交错轨,即可能有岔路。
我们来分析一下,岔路可能有两种情况。
显然,这种情况你自己不去走那边就好了。
出现在别人的节点
如果朝奇数条交错轨的方向走,自己的节点到别人的节点这条边应该在最大匹配中(图中蓝色的边),但是这条边显然可以被橙色的边代替,和当前点一定在最大匹配上的假设不符。
所以,最终一定走的是奇数条边,使后手无法行动。 也可以这么看,先手一定可以有边可走(沿着匹配边走),但是后手不一定有边可走。
由此我们得出结论,如果先手所在的点在一定在最大匹配上,则先手有必胜策略,否则,后手有必胜策略。
每次操作时,我们就检查当前空格所在位置是不是一定在最大匹配上,然后将这个位置删掉,将空格的位置设置为这次操作的位置。
那么我们怎么看当前点是不是一定在最大匹配上呢?
如果当前点本来就没有匹配的点,显然不在。
如果当前点所匹配的点在删去当前点后,能够继续增广,就说明当前点不一定在最大匹配上,否则一定在。
代码
#include<cstdio> #include<algorithm> #include<queue> #include<cstring> using namespace std; #define MAXN 40 #define MAXM 40 #define MAXK 1000 queue<int>q; int n,m,cx[MAXN*MAXM+10],dir[4][2]={{1,0},{-1,0},{0,1},{0,-1}},bx,by,cnt,ans[MAXK+10],k; char s[MAXN+10][MAXN+10]; bool vis[MAXN*MAXM+10],ban[MAXN*MAXM+10]; struct node{ int v; node *next; }*adj[MAXN*MAXN+10],edge[MAXN*MAXN*4+10],*ecnt=edge; inline void addedge(int u,int v){ node *p=++ecnt; p->v=v; p->next=adj[u]; adj[u]=p; } void Read(int &x){ static char c; while(c=getchar(),c!=EOF) if(c>='0'&&c<='9'){ x=c-'0'; while(c=getchar(),c>='0'&&c<='9') x=x*10+c-'0'; ungetc(c,stdin); return; } } void read(){ Read(n),Read(m); int i,j; for(i=1;i<=n;i++) scanf("%s",s[i]+1); for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=m;j++) if(s[i][j]=='O') s[i][j]=0; else if(s[i][j]=='X') s[i][j]=1; else s[i][j]=1,bx=i,by=j; } inline int Get_id(int i,int j){ return (i-1)*m+j; } void bfs(){ q.push(Get_id(bx,by)); int u,x,y,tx,ty,v,d; while(!q.empty()){ u=q.front(); q.pop(); x=(u+m-1)/m; y=u-(x-1)*m; for(d=0;d<4;d++){ tx=x+dir[d][0]; ty=y+dir[d][1]; if(tx&&ty&&tx<=n&&ty<=m&&s[x][y]^s[tx][ty]){ v=Get_id(tx,ty); addedge(u,v); if(!vis[v]){ vis[v]=1; q.push(v); } } } } } void print(){ printf("%d\n",cnt); int i; for(i=1;i<=cnt;i++) printf("%d\n",ans[i]); } bool dfs(int u){ for(node *p=adj[u];p;p=p->next){ if(!vis[p->v]&&!ban[p->v]){ vis[p->v]=1; if(!cx[p->v]||dfs(cx[p->v])){ cx[p->v]=u; cx[u]=p->v; return 1; } } } return 0; } void solve(){ int i,u,mt; for(i=n*m;i;i--){ if(!cx[i]){ memset(vis,0,sizeof vis); dfs(i); } } bool r1,r2; Read(k); for(i=1;i<=k;i++){ u=Get_id(bx,by); ban[u]=1; if(cx[u]){ mt=cx[u]; cx[u]=cx[mt]=0; memset(vis,0,sizeof vis); r1=!dfs(mt); } else r1=0; Read(bx),Read(by); u=Get_id(bx,by); ban[u]=1; if(cx[u]){ mt=cx[u]; cx[u]=cx[mt]=0; memset(vis,0,sizeof vis); r2=!dfs(mt); } else r2=0; if(r1&&r2) ans[++cnt]=i; Read(bx),Read(by); } } int main() { read(); bfs(); solve(); print(); }
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