同余与乘法逆元

同余：

定义：设m≠0，若m∣a－b，即a－b＝km，则称a与b同余，余数为m。

充要条件：a、b关于模m同余的充要条件是整数a和b被同一正整数m除时，有相同的余数。(a % m)=(b % m)意味a≡b (%m)

性质：





同余类：根据整数模n所得的余数，可以把整数分成n个等价类：[0],[1],…,[n-1]。

包含整数的模n等价类为：[a]n={a+kn| k∈Z}。

例题：求3406写成十进位数时的个位数.

根据题意是要求a满足3406 ≡a（mod 10）

显然32 ≡9 ≡－1 （mod 10），

34 ≡1 （mod 10），

从而3404 ≡1 （mod 10），

因此3406 ≡ 3404 × 32 ≡9（mod 10）

所以个位数是9.

模运算的运算规则

（1）(a + b) % p = (a % p + b % p) % p

（2）(a - b) % p = (a % p - b % p) % p

（3）(a * b) % p = (a % p * b % p) % p

（4）a ^ b % p = ((a % p)^b) % p

结合律：

（5）((a+b) % p + c) % p = (a + (b+c) % p) % p

（6）((a*b) % p * c)% p = (a * (b*c) % p) % p

交换律：

（7）(a + b) % p = (b+a) % p

（8）(a * b) % p = (b * a) % p

分配律：

（9）(a+b) % p = ( a % p + b % p ) % p

（10) ((a +b)% p * c) % p = ((a * c) % p + (b * c) % p) % p

重要定理：

（11）若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有(a + c) ≡ (b + c) (%p)

（12）若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有(a * c) ≡ (b * c)

（13） 若a≡b (% p)，c≡d (% p)，则 (a + c) ≡ (b + d) (%p)，(a - c) ≡ (b - d) (%p)，

(a * c) ≡ (b * d) (%p)，(a / c) ≡ (b / d) (%p)

乘法逆元：

定义：

满足a*k≡1 (mod p)的k值就是a关于p的乘法逆元。eg: 1=5*3-14 所以5关于模14的乘法逆元为3.

应用：

当我们要求 (a/b) mod P 的值时，如果 a 很大，无法直接求得a/b的值时，我们就可以使用乘法逆元。我们可以通过求b关于P的乘法逆元k，将a乘上k再模P，即(a%P*k)。其结果与(a/b) mod P等价。