欧拉函数——找新朋友(HDU 1286)

欧拉函数（Euler’s totient function、φ函数、欧拉商数）定义：在数论中，对正整数n，欧拉函数是小于等于n的数中与n互质的数的数目。

通式： φ(N)=N*(1-1/P1)(1-1/P2)…*(1-1/Pn).

（其中x为非零整数，p1,p1…pn为对于一个正整数N的素数幂分解N=P1^q1*P2^q2*…*Pn^qn. ）

性质：

欧拉函数是积性函数——若m,n互质， φ(mn)=φ(n)*φ(m)

当n为奇数时，φ(2n)=φ(n)

当n为质数，φ(n)=n-1

欧拉定理： 若a与n互质，则a×φ(n) ≡ 1 (mod n)

欧拉定理的推广形式：当x ≥ φ(n)时，a×X ≡ a×( X mod φ(n) + φ(n) ) (mod n)，不需要互素。

用途：计算高阶幂次取模

代码：

int eular(int x)
{
int i,res = x;
for(i = 2;i < (int)sqrt(x*1.0) + 1;i++)
{
if(x % i == 0)
{
res = res / i * (i-1);
while(x % i == 0)
x /= i;
}
}
if(x > 1)
res = res/x *(x-1);
return  res;
}