nyist_1011 So Easy[II]

题目：输入一个点列，顺次连接成一个封闭多边形，计算多边形的面积

分析：方法一，计算面积可以考虑定积分的形式，定积分有正有负，顺次求和，重复部分相互抵消，最后剩下的总面积的绝对值就是多边形的面积。

从线性积分后的结果可以容易的看出，直线段的积分实际上就是求该直线段与x轴所围成的区域的梯形的面积Int(P1, P2) = Int(k*x + b, P1.x, P2.x) = 0.5 * (P2.x - P1.x) * (P2.y + P1.y), 斜率k = (P1.y - P2.y) / (P1.x - P2.x)，截距b = P1.y - k*P1.x；

算法的复杂度为：O(N)，N为顶点的个数。

[cpp]

struct Point {   

    float x, y;   

};   

float LinearIntegration(const Point &p1, const Point &p2) {   

    return 0.5 * (p2.x - p1.x) * (p2.y + p1.y);   

}   

float ComputePolygonArea(const Point points[], int length) {   

    if (points == NULL || length <= 0) return 0.0;   

    float area = 0.0;   

    for (int i = 0; i < length - 1; ++ i) {   

        area += LinearIntegration(points[i], points[i + 1]);   

    }   

    area += LinearIntegration(points[length - 1], points[0]);   

    return area >= 0.0 ? area : -area;   

}   

方法二，考虑到平面上知道三角形三个顶点的坐标可以运用行列式det直接求解三角形的面积。如P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P3(x3,y3)，则

S(P1, P2, P3) = det[ x1 y1 1; x2 y2 1; x3 y3 1] * 0.5 = [(x2 - x1) * (y3 - y1) - (x3 - x1) * (y2 - y1)] * 0.5;

可以在多边形的平面中任意的找到一个点，与多边形的每条边形成有向三角形，并顺次求取有向三角形的面积，再加和，因为是有向面积同上述定积分类似，面积有正有负可抵消重复部分，剩下的面积的绝对值即为多边形的面积。

[cpp] 

struct Point {   

    float x, y;   

    Point() {x = 0.0; y = 0.0;}   

    Point(float _x, float _y) {x = _x; y = _y;}   

};   

float ComputeTriangleArea(const Point &p1, const Point &p2, const Point &p3) {   

    return 0.5 * ((p2.x - p1.x) * (p3.y - p1.y) - (p3.x - p1.x) * (p2.y - p1.y));   

}   

float ComputePolygonAreaTri(const Point points[], int length) {   

    if (points == NULL || length <= 0) return 0.0;   

    Point p0(0.0, 0.0);   

    float area = 0.0;   

    for (int i = 0; i < length - 1; ++ i) {   

        area += ComputeTriangleArea(p0, points[i], points[i + 1]);   

    }   

    area += ComputeTriangleArea(p0, points[length - 1], points[0]);   

    return area >= 0.0 ? area : -area;   

}