多个数加减法算式出题器的算法分析和源码

#起因
由于项目需要：弄出一套出题器算法，输入答案的范围、操作数的范围，操作数的数值范围，输出一道n个数的加减法算式题。

#回忆
于是笔者立马想起了以前有一个项目也有一个出题器，但是那个是两位数的加减法出题器，可能需要改进下，于是开始改进了。
例如：a + b = c，是不是挺简单，当初笔者是这么想的：先随机出c和a，再随机出运算符, 最后求得b = c - b，脑子快一点的同志就看出来，这种情况只适用于加法，但是如果b是负数呢，那其实就是一个减法，于是应该改成这样b = (加法 ? c - b : b - c)，于是运行了一下，果然行，于是随机了100次出题器，结果出现了b超出是表达式的数值范围，为什么呢?例如: 表达式的数值范围是[8, 10], 而答案的取值范围是[0, 2]，那样如果a随机得到了8，而答案随机到了2， 运算符随机到加法，那怎么整呢？简单，b = (加法 ? c - b : b - c) ==> b = -6, 最终得到题目：8 + (-6) = 2，那样b就超出了表达式的取值范围了，解决办法就是控制操作符。

#简单算式题生成
下面给出简单加减法出题器代码(js版)：

function makeUnit(exp, vMax, vMin, level){
if(level == 0){
return;
}

var result = exp.shift();

var operate;
if(result < vMin){
operate = 1;
}else{
operate = rand(1);
}

var left = rand(vMax, operate == 0 ? vMin : vMin + result);
var right = operate == 0 ? result - left : left - result;
if(right < 0){
operate = operate == 0 ? 1 : 0;
right = -right;
}

exp.unshift(left, operate, right);
console.log('%d%s%d=%d',left, operateStr[operate], right, result);
}
//调用
var exp = [10]; //把答案压入栈里
makeUnit(exp, 10, 0, 1);

注①：你是否会奇怪笔者为什么要用shift方法来取出答案，还要用unshift方法把算式从底部插入，其实在简单算式里是看不出来的，下面会提及。

#多数加减法
笔者一开始走错了路，虽然都是从答案开始反推，但是算式却是从整体入手的，结果没搞出来。
一个好学的同事也在想这个算法，他的想法是遍历所有的情况，知道遇到答案为止，但是明显不对，遍历所有情况的过程，是没有随机的概念的，所以只要答案一致，算式还是一样的，除非先把遍历列表随机打乱。结果他也没搞出来，但是他的一句话提醒了，我立马想到了一种方法，曾经在编译原理里看到过语法分析，就是二叉树来实现，但是原理并不一样。
其实你看到简单算式的js版的代码里就能看到方法名叫“makeUnit”，其实就是出题单元的意思，直接看一个样例(3个数的加减法)：
3 + 4 = 7
这样，一个简单的算式出来了，然后怎么增加到3个数的加减法呢？答案很简单，就是再把其中一个被操作数做一次makeUnit即可，比如把里面3做一个makeUnit：
　3 + 4 = 7
　/

9 - 6= 3，
做成一颗二叉树就是：



这样遍历后得到算式9 - 6 + 4 = 7，你还可以让它更深一些，就能产生任意n多个数的加减法算式了(n >= 2)。
注：笔者为了简单起见，直接用一个数组来存放算式，所以需要约定：约定奇数索引的值都是操作数，偶数索引的值都是操作符(0: 加法，1:减法，2:等于)，例如[9, 1, 6, 0, 4, 2, 7] => 9 - 6 + 4 = 7

#多数加减法算式的隐藏问题
在上面注①里面笔者提到了栈的操作是有原因的，现在揭晓一下。
因为多数加减法涉及到一个优先级的问题，就是从左到右算，遇到括号先算括号这两条。
我们再来看一个例子：
9 - 4 = 5,
　 /

　6 - 2 = 4
这样遍历后得到 9 - (6 - 2) = 5，明显没毛病，但是这是有括号的算式，如果我们的需求是无括号的算式怎么办？
有两种方法，一种是数学老师教的那种，就是遇到括号前面是减号的话，把括号内的减号都换成加号即可，这样需要一个前看操作。
还有一种就要在栈底操作了，不知道这样还算不算是栈操作了，就是每次都拆分算式栈中的第一个数，这样就能避免括号的出现了，也不用前看操作了。
这两种方法需要你自己权衡。笔者直接用了栈底操作。

#输出



测试了10次10个100以内的数的加减法算式生成。

#源码
笔者先写了js版，然后翻译了c#版，都贴出来：

/**
* Created by AlienCoder on 16/7/2.
*
* 加减法算式出题器
*/
'use strict';

var operateStr = ['+', '-', '='];

function rand(max, min){
min = min || 0;
return Math.floor(Math.random() * (max - min + 1)) + min;
}

function makeUnit(exp, vMax, vMin, level){
if(level == 0){
return;
}

var result = exp.shift();

var operate;
if(result < vMin){
operate = 1;
}else{
operate = rand(1);
}

var left = rand(vMax, operate == 0 ? vMin : vMin + result);
var right = operate == 0 ? result - left : left - result;
if(right < 0){
operate = operate == 0 ? 1 : 0;
right = -right;
}

exp.unshift(left, operate, right);
//console.log('%d%s%d=%d',left, operateStr[operate], right, result);

makeUnit(exp, vMax, vMin, level - 1);
}

function makeQuestion(rMax, rMin, vMax, vMin, level){
var result = rand(rMax, rMin);

var exp = [result];
makeUnit(exp, vMax, vMin, level);
exp.push(2, result);
return exp;
}

function expToString(exp){
var str = '';
exp.forEach((v, i)=>{
if(i % 2 == 0){
str += v;
}else{
str += operateStr[v];
}
});

return str;
}

for(var i = 0; i < 10; i ++){
console.log(expToString(makeQuestion(100, 0, 100, 0, 9)));
}

using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Collections;

namespace alien{
class QuestionMaker{
string[] operateStr = new string[]{"+", "-", "="};
Random random = new Random();

public static void Main(string[] args){
QuestionMaker maker = new QuestionMaker();

for(var i = 0; i < 10; i++){
Console.WriteLine(maker.expToString(maker.makeQuestion(100, 1, 100, 0, 9)));
}
}

void makeUnit(ArrayList exp, int vMax, int vMin, int level){
if(level == 0){
return;
}

int result = (int)exp[0];
exp.RemoveAt(0);

int operate;
if(result < vMin){
operate = 1;
} else{
operate = random.Next(0, 2);
}

int left = random.Next(operate == 0 ? vMin : vMin + result, vMax);
int right = operate == 0 ? result - left : left - result;
if(right < 0){
operate = operate == 0 ? 1 : 0;
right = -right;
}

exp.Insert(0, right);
exp.Insert(0, operate);
exp.Insert(0, left);

makeUnit(exp, vMax, vMin, level - 1);
}

ArrayList makeQuestion(int rMax, int rMin, int vMax, int vMin, int level){
int result = random.Next(rMin, rMax);
ArrayList exp = new ArrayList();
exp.Add(result);
makeUnit(exp, vMax, vMin, level);
exp.Add(2);
exp.Add(result);

return exp;
}

string expToString(ArrayList exp){
string str = "";
for(int i = 0, li = exp.Count; i < li; i++){
if(i % 2 == 0){
str += exp[i];
} else{
str += operateStr[(int)exp[i]];
}
}

return str;
}
}
}

#后话
笔者的markdown功力不够深请见谅。
如果你在用这个算法的过程中遇到了什么问题请直接评论。