经典问题之约瑟夫问题的快速解决

此问题非常经典，在网上即可找到原题，在此不做描述。

对于原问题模型，一有链表法解决问题，效率极低，在此描述一种用树状数组完成问题的超快速做法。

首先，我们可以有这样递推的思路：不断加k模n，并减去其数字前走了的人即为当前人的真实编号（即是这一轮应踢走的人的编号），如何快速维护每个人其前走了的人的和，答案为树状数组。

现在模拟一下过程，假设有6个人，k=3（每报3个，走一个人）。

初始状态：1 2 3 4 5 6

用树状数组在每个人的位置加一，可得前缀和：1 2 3 4 5 6

现在1+2(其实是k-1)=3走了:1 2 4 5 6

用树状数组在3的位置减1，可得前缀和：1 2 2 3 4 5

再走了3+2=5，5%（6-1）=5（走了一个人，故6需减1）等等，此时并不是走了5，而是在树状数组中前缀和为5的数字，由上可知走了6：1 2 4 5

用树状数组在6的位置减1，可得前缀和：1 2 2 3 4 4

又按5+2=7，7%（6-2）=3，但这时在树状数组的前缀和中查找3，可见是第四个人的状态为3，故此回合走了4：1 2 5

用树状数组在4的位置减1，可得前缀和：1 2 2 2 3 3

又按3+2=5，5%（6-3）=2，在树状数组中查找二，可见即为2，

故此回合走了2：1 5，

前缀和改为：1 1 1 1 2 2

最后2+2=4，4%（6-4）=2，在树状数组中查找2，可见为5，

故最后只剩1了。

因为前缀和是单调的，所以查找可以用二分。

可得序列为：3 6 4 2 5 1

//不信的话可以和链表验证一下。

参考程序：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<ctime>
#define maxn 1000000
using namespace std;
int bit[maxn];
int n,k;
int sum(int i){
int s=0;
while (i>0){
s+=bit[i];
i-=(i&(-i));
}
return s;
}
void add(int i,int x){
while (i<=n){
bit[i]+=x;
i+=(i&(-i));
}
}
int binary_search(int id){
int l=0,r=n+1;
while (l<r){
int mid=(l+r)>>1;
if (sum(mid)<id)l=mid+1;
else r=mid;
}
return l;
}
int main(){
freopen("input.in","r",stdin);
freopen("output.out","w",stdout);
while (scanf("%d%d",&n,&k)==2){
int id=1;
memset(bit,0,sizeof(bit));
for (int i=1;i<=n;i++)
add(i,1);
for (int i=1;i<=n;i++){
id=(id+k-2)%(n-i+1)+1;
int newid=binary_search(id);
printf("%d ",newid);
add(newid,-1);
}
}
printf("\nUsed Time=%.2f",(double)clock()/CLOCKS_PER_SEC);
return 0;
}

为什么说这种方法快呢？

1.检验：在n=100000的情况下，仅费时0.24秒。

2.可以明显得O(n*(logn)^2)，应该算是很快了。

对于只需要最后幸存者的问题，可参见递推解决