欧几里德与扩展欧几里德算法

欧几里德算法（辗转相除法） 可用于计算两个整数a,b的公约数和公倍数

定理：gcd(a, b) = gcd(b , a%b)

int gcd(int a,int b)
{
return b ? gcd(b,a%b):a;
}

最小公倍数是：  

a*b/gcd(a,b)

不过我们为了防止a*b的溢出 采取先除后乘
a/gcd(a,b)*b
扩展欧几里德算法
基本算法：对于不完全为 0 的非负整数 a，b，必然存在整数对 x，y ，使得
gcd（a，b）=ax+by

★★用类似辗转相除法，求二元一次不定方程47x+30y=1的整数解。（网上看到的推导过程  觉得很好理解）

47=30*1+17

30=17*1+13

17=13*1+4

13=4*3+1

然后把它们改写成“余数等于”的形式

17=47*1+30*(-1) //式1

13=30*1+17*(-1) //式2

4=17*1+13*(-1) //式3

1=13*1+4*(-3)

然后把它们“倒回去”

1=13*1+4*(-3) //应用式3

1=13*1+[17*1+13*(-1)]*(-3)

1=13*4+17*(-3) //应用式2

1=[30*1+17*(-1)]*4+17*(-3)

1=30*4+17*(-7) //应用式1

1=30*4+[47*1+30*(-1)]*(-7)

1=30*11+47*(-7)

得解x=-7, y=11。

具体代码如下：

int exgcd(int a,int b,int & x,int & y)
{
if(b == 0)
{
x = 1;
y = 0;
return a;
}
int r = exgcd(b, a%b, x, y);
int t = y;
y = x - (a/b)*y;
x = t;
return r;
}

扩展欧几里德应用：

同余方程ax≡b (mod n)，如果 gcd(a,n)== 1，则方程只有唯一解。

在这种情况下，如果 b== 1，同余方程就是 ax=1 (mod n ),gcd(a,n)= 1。

这时称求出的 x 为 a 的对模 n 乘法的逆元。

对于同余方程 ax= 1(mod n )， gcd(a,n)= 1 的求解就是求解方程

ax+ ny=同余方程ax≡b (mod n)，如果 gcd(a,n)== 1，则方程只有唯一解。

在这种情况下，如果 b== 1，同余方程就是 ax=1 (mod n ),gcd(a,n)= 1。

这时称求出的 x 为 a 的对模 n 乘法的逆元。

对于同余方程 ax= 1(mod n )， gcd(a,n)= 1 的求解就是求解方程

ax+ ny= 1，x, y 为整数。这个可用扩展欧几里德算法求出，原同余方程的唯一解就是用扩展欧几里德算法得出的 x 。 1，x, y 为整数。这个可用扩展欧几里德算法求出，原同余方程的唯一解就是用扩展欧几里德算法得出的 x 。