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80老翁谈人生（4）：智能机器人上阵，微积分下放中学

2016-06-18 02:04 267 查看
80老翁谈人生（4）：智能机器人上阵，微积分下放中学

      当今，微积分怎样下放中学，是人们一直在思考的问题。在上世纪80年代，根据美国、新西兰等国的讲授经验，在中学高级阶段讲授非标准微积分（即实无穷小微积分）显著优于传讲授统的基于极限论的微积分的效果。那么，为什么在我国微积分学（初等知识）不能够下放到中学的高级阶段讲授呢？

    回顾以往，马克思在数学手稿中说过：在微分（即求导）过程中，在量的否定，比如量的消失中，看到其间仍保存着特定的质的关系，即y对x的函数关系所制约的质的关系。因此，当增量Δx变为零，Δy也变为零，时能具有特定的值，即导函数。 


在此，马克思又补充说：”要把握的真正含义，“唯一的困难是在逐渐消失的量之间确定一个比的这种辩证的见解。”

    最后，马克思对传统微积分学评论到：“人们自己相信了新发现的算法的神秘性。这种算法通过肯定是不正确的数学途径得出了正确的（尤其在几何应用上是惊人的）结果。”

马克思所说的“通过肯定是不正确的数学途径得出了正确的结果”是什么意思呢？

      大家知道，在传统微积分学中，其最核心的基础概念导数的定义是：“当自变量的增量Δx
＝x
－x0，Δx→0时，函数增量Δy
＝f（x）－f（x0）与自变量增量之比的极限存在且有限,就说函数f在x0点可导，称之为f在x0点的导数（或变化率)。”

但是，条件定语“Δx→0“是什么意思？在传统朴素微积分中，Δx有时是很小的不为零的量，有时又让它消失为零，这在逻辑推理上当然是不正确的。

    根据历史考证，当年马克思不曾阅读过法国数学家柯西的“分析基础”，不知道基于实数上的严格极限论。我们不能苛求马克思。假若马克思得知存在非标准分析的话，他一定赞成实无穷小有时非零，其标准部分是零的数学概念。在非标准分析中，导数的定义是：

                                   St(Δy/Δx)
= dy/dx， 
当Δx是无穷小时

    此定义简洁明了，中学生可以接受取标准部分函数st（x）。问题在于现在缺乏足够的合格中学教员。

进入人工智能时代，让智能机器人上阵，在网上教授实无穷小微积分，广大师生一块儿学，问题不就解决了？

袁萌    6月18日
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