陶哲轩实分析 5.5 节习题试解

陶哲轩实分析 5.5 节习题试解

5.5.1 设 E\mathrm{E} 是 R\mathbb R 的一个非空子集，E\mathrm{E} 有最小上界 MM，它是个实数，即 M=sup(E)M = \sup(\mathrm{E})。令 −E-\mathrm{E} 为集合：−E={−x:x∈E}-E =\{-x: x \in \mathrm{E}\}，证明 −M=inf(−E)-M = \inf(-\mathrm{E})

先证明 −M-M 为下界。

反证法：

假设 −M-M 不是下界，也就是说存在一个−x0∈−E-x_0 \in -\mathrm{E} 满足 −x0<−M-x_0 < -M。

所以 x0>M,x0∈Ex_0 > M, x_0 \in \mathrm{E} 这与 MM 是 E\mathrm{E} 的上界矛盾。所以 −M-M 是下界。

再证明 −M-M 是最大下界。

反证法：

假设 −M-M 不是最大下界，也就是说存在 −M′-M' 满足 −M′<−M-M' < -M ，并且 ∀−x∈−E,−x>−M′\forall -x \in -\mathrm{E}, -x > -M'

那么有 ∀x∈E,x<M′\forall x \in \mathrm{E}, x < M' 这与MM 是 E\mathrm{E} 的最小上界矛盾。

所以 −M-M 是最大下界。

5.5.2 设 E\mathrm{E} 是 R\mathbb R 的一个非空子集，n≥1n \geq 1 是整数，并且 L<KL < K 是两个整数。假设 K/nK/n 是 E\mathrm{E} 的上界，但 L/nL / n不是 E\mathrm{E} 的上界。证明存在整数 m,L<m≤Km, L < m \leq K 使得 m/nm/n 是 E\mathrm{E} 的上界，但 (m−1)/n(m-1)/n 不是 E\mathrm{E} 的上界。

反证法：

假设不存在这样的整数，也就是对于任意 L<m≤KL < m \leq K 要么 m/nm/n 和 (m−1)/n(m-1)/n 同是 E\mathrm{E} 的上界，要么同不是 EE 的上界。

当 m=L+1m = L + 1时，因为 (m−1)/n=L/n(m-1)/n = L/n 不是 EE 的上界，所以 (L+1)/n(L+1)/n 也不是 E\mathrm{E} 的上界，所以 (L+2)/n(L+2)/n 也不是 E\mathrm{E} 的上界……

用数学归纳法可以证明任意 L<m≤KL < m \leq K 都有 m/nm/n 不是 E\mathrm{E} 的上界。

上面已经证明了 m=L+1m = L + 1 时m/nm/n 不是 E\mathrm{E} 的上界。

假设对 m=p,L<p≤Km = p, L < p \leq K 时， p/np/n 不是 E\mathrm{E} 的上界成立。

那么对于 m=p+1m = p+1 时，由于 (m−1)/n=p/n(m-1)/n = p/n 不是 E\mathrm{E} 的上界。所以 (p+1)/n=m/n(p+1)/n = m/n 也不是 E\mathrm{E} 的上界。

所以任意 L<m≤KL < m \leq K 都有 m/nm/n 不是 E\mathrm{E} 的上界。

而这与 K/nK/n 是 E\mathrm{E} 的上界矛盾。所以一定存在这样的整数 L<m≤KL < m \leq K 满足 m/nm/n 是 E\mathrm{E} 的上界，但 (m−1)/n(m-1)/n 不是 E\mathrm{E} 的上界。

5.5.3 设 E\mathrm{E} 是 R\mathbb R 的一个非空子集，n≥1n \geq 1 是整数，并设 m,m′m, m' 是具有下述性质的整数：m/nm/n 和 m′/nm'/n 是 E\mathrm{E} 的上界，(m−1)/n(m-1)/n 和 (m′−1)/n(m'-1)/n 不是 E\mathrm{E} 的上界。证明 m=m′m = m'。

证明，根据上界的性质，有：

mn>m′−1nm′n>m−1n
\frac{m}{n} > \frac{m'-1}{n}\\
\frac{m'}{n} > \frac{m-1}{n}

所以：

m>m′−1m′>m−1
m > m'-1\\
m' > m - 1

假设 m≠m′m \neq m'

那么

m>m′−1⇒m>m′m‘>m−1⇒m′>m
m > m'-1 \Rightarrow m > m' \\
m‘ > m-1 \Rightarrow m’ > m

导致矛盾，所以 m=m′m = m'。