剑指offer面试题36-数组中的逆序对

问题描述：

在数组中的两个数字，如果前面一个数字大于后面的数字，则这两个数字组成一个逆序对。输入一个数组，求出这个数组中的逆序对的总数。

例如， 在数组{7,5,6,4}中，一共存在5个逆序对，分别是(7,6),(7,5),(7,4),(6,4)和(5,4)，输出5.

问题求解：归并排序

以数组｛7, 5, 6, 4｝为例来分析统计逆序对的过程。每次扫描到一个数字的时候，我们不能拿它和后面的每一个数字作比较，否则时间复杂度就是O(n^2)，因此我们可以考虑先比较两个相邻的数字。



如图5.1 (a)和图5.1 (b)所示，先把数组分解成两个长度为2的子数组， 再把这两个子数组分别拆分成两个长度为1的子数组。接下来一边合并相邻的子数组， 一边统计逆序对的数目。在第一对长度为1 的子数组{7}、{5}中7大于5 ，因此(7, 5)组成一个逆序对。同样在第二对长度为1 的子数组{6}、{4}中也有逆序对(6, 4)。由于我们已经统计了这两对子数组内部的逆序对，因此需要把这两对子数组排序(图5.1 (c)所示)，以免在以后的统计过程中再重复统计。



如图所示，声明p1,p2,p3三个指针，分别为左半段下标，右半段下标，以及辅助数组下标。从后往前依次遍历左半段和右半段：

(a) P1指向的数字大于P2指向的数字，表明数组中存在逆序对. P2指向的数字是第二个子数组的第二个数字，因此第二个子数组中有两个数字比7小. 把逆序对数目加2，并把7 复制到辅助数组，向前移动P1和P3.

(b) P1指向的数字小子P2指向的数字，没有逆序对. 把P2指向的数字复制到辅助数组，并向前移动P2和P3.

(c) P1指向的数字大于P2指向的数字，因此存在逆序对. 由于P2指向的数字是第二个子数组的第一个数字，子数组中只有一个数字比5小. 把逆序对数目加1，并把5复制到辅助数组，向前移动P1和P3 .

总结出统计逆序对的过程：先把数组分隔成子数组， 先统计出子数组内部的逆序对的数目，然后再统计出两个相邻子数组之间的逆序对的数目。在统计逆序对的过程中，还需要对数组进行排序。我们不难发现这个排序的过程实际上就是归并排序。

class Solution {
public:
int InversePairs(vector<int> data) {
int n  = data.size();
return mergeSort(data, 0, n-1);
}

int mergeSort(vector<int>& data, int start, int end) {
// 递归终止条件!!!
if(start >= end) return 0;

//1.递归,划分左右两个子数组，归并排序，并计算本次逆序对数
int mid = start + (end-start) / 2;
int lcnt = mergeSort(data, start, mid);//左边有序，并得到逆序对数
int rcnt = mergeSort(data, mid+1, end);//右边有序，并得到逆序对数

//2.归并排序，并计算本次逆序对数
vector<int> copy(data); // 数组副本，用于归并排序
int i = mid;      // 前半部分的指标
int j = end;      // 后半部分的指标
int cnt = 0;         // 记录本次逆序对数
int idxCopy = end;      // 辅助数组的下标
while(i>=start && j >= mid+1)
{//2.1 从后往前分别遍历两个子数组
if(data[i] > data[j])//!!!!!!!!
{//2.2存在交叉的逆序对，统计，然后依次将较大值放进辅助数组
copy[idxCopy--] = data[i--];
cnt += j - mid;//右面剩下(j前面的)的都是逆序!!!!!
}
else//2.3不存在交叉的逆序对，依次将较大值放进辅助数组
copy[idxCopy--] = data[j--];
}
while(i >= start) {
copy[idxCopy--] = data[i--];
}
while(j >= mid+1) {
copy[idxCopy--] = data[j--];
}
for(int i=start; i<=end; i++) {
data[i] = copy[i];
}

return (lcnt+rcnt+cnt);
}
};

参考剑指offer