96. Unique Binary Search Trees

Given n, how many structurally unique BST's (binary search trees) that store values 1...n?

For example,

Given n = 3, there are a total of 5 unique BST's.

1         3     3      2      1
\       /     /      / \      \
3     2     1      1   3      2
/     /       \                 \
2     1         2                 3

分析摘自：http://www.tuicool.com/articles/NRjmyyI
代码摘自：http://www.tuicool.com/articles/IFZbAr

    注意BST的性质，左子树元素<根元素<右子树元素

如果集合为空，只有一种BST，即空树，

UniqueTrees[0] =1

如果集合仅有一个元素，只有一种BST，即为单个节点UniqueTrees[1] = 1

UniqueTrees[2] = UniqueTrees[0] * UniqueTrees[1]   (1为根的情况，左子树挂0个右子树挂1个)+ UniqueTrees[1] * UniqueTrees[0]  (2为根的情况，左子树挂1个右子树挂0个）。

再看一遍三个元素的数组，可以发现BST的取值方式如下：

UniqueTrees[3] = UniqueTrees[0]*UniqueTrees[2]  (1为根的情况，左子树挂0个右子树挂2个)

+ UniqueTrees[1]*UniqueTrees[1]  (2为根的情况，左子树挂1个右子树挂1个)

+ UniqueTrees[2]*UniqueTrees[0]  (3为根的情况，左子树挂2个右子树挂0个)

所以，由此观察，可以得出UniqueTrees的递推公式为UniqueTrees[i] = ∑ UniqueTrees[k] * [i-1-k]     k取值范围 0<= k <=(i-1)

public int numTrees(int n) {
if(n<=0)
return 0;
int[] res = new int[n+1];
res[0] = 1;
res[1] = 1;
for(int i=2;i<=n;i++)
{
for(int j=0;j<i;j++)
{
res[i] += res[j]*res[i-j-1];
}
}
return res
;
}