数列 [Bzoj3142，Codevs2089，HNOI2013]

题目地址——

数列

【问题描述】

小T 最近在学着买股票，他得到内部消息：F公司 的股票将会疯涨。

股票每天的价格已知是正整数，并且由于客观上的原因，最多只能为 N。

在疯涨的 K 天中 小T 观察到：

除第一天外每天的股价都比前一天高，且高出的价格（即当天的股价与前一天的股价之差）不会超过 M，M 正整数。

并且这些参数满足 M(K−1)<N。

小T忘记了这K天每天的具体股价了，他现在想知道这 K 天的股价有多少种可能。

【输入描述】

输入文件只有一行用空格隔开的四个数：N、K、M、P 。

对 P 的说明参见后面“输出格式”中对 P 的解释。

输入保证 20% 的数据 M,N,K,P≤20000，保证 100% 的数据 M,K,P≤109，N≤1018。

【输出描述】

仅包含一个数，表示这 K 天的股价的可能种数对于 P 的模值。

【输入样例】

7 3 2 997

【输出样例】

16

【数据范围及提示 Data Size & Hint】

输出样例的16表示输入样例的股价有16种可能：

{1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}，{1，3，5}，

{2，3，4}，{2，3，5}，{2，4，5}，{2，4，6}，

{3，4，5}，{3，4，6}，{3，5，6}，{3，5，7}，

{4，5，6}，{4，5，7}，{4，6，7}，{5，6，7}。

【Solution】

ans=mk−1n−(k−2)(mk+1+mk2) mod p

用快速幂就可以 A 了。

【Code】

[cpp] #include <iostream>
#include <cstdio>

#define LL long long
#define Min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))

using namespace std;

LL n,k,m,p;
LL tp;

inline LL in(){
LL ans=0;
char x=getchar();
while(x<‘0’||x>‘9’)x=getchar();
while(x>=‘0’&&x<=‘9’){ans=ans*10+x-‘0’;x=getchar();}
return ans;
}

LL power(LL x,LL y){
if(y==0)return 1;
if(y==1)return x%p;
LL tmp=power(x,y/2);
if(y&1)return tmp*tmp%p*(x%p)%p;
else return tmp*tmp%p;
}

LL power2(LL x,LL y){
if(y==0)return 1;
if(y==1)return x%tp;
LL tmp=power2(x,y/2);
if(y&1)return tmp*tmp%tp*(x%tp)%tp;
else return tmp*tmp%tp;
}

int main(){

n=in();k=in();m=in();p=in();
tp=2*p;

LL t1=power(m,k-1)*(n%p)%p;
LL t2=(k-1)%p;
LL tmp=power2(m,k-1);
LL t3=(tmp+tmp*m)%tp/2;

LL ans=((t1-t2*t3%p)%p+p)%p;
printf(”%lld\n”,ans);

return 0;
}