在unity向量空间内绘制几何(1):通过将极坐标转换为直角坐标，绘制阿基米德螺线，对数螺线与玫瑰线等几何图形

极坐标内的每个点都有两个参数： r, 与 θ。r为此点到极点（中心点）的距离，θ 为此点到极点的线段与极轴（类似x轴）的夹角。

很多几何图形公式都可以用极坐标简洁的表示，例如：

阿基米德螺旋线：(公式1) r=a+b*θ



对数螺旋线：(公式2)r=a∗eb∗θ



心脏线：(公式3)r=a(1−sin∗θ)



玫瑰线：(公式4)r=cos(k∗θ)+c



以上的a,b,c,k都是常数，用来控制图形的形状。

已知了r 与 θ 的关系，只要依次算出θ从0至2π相应的r的值，我们就能得出一个连续的极坐标(r, θ)数组。

极坐标与直角坐标的转换

公式：(公式5)x=r∗cos(θ) y=r∗sin(θ)

将以上信息转化为代码既是：

public Vector3[] GeneratePolarRoses(int points,Vector3 centre,float k,float c,float scale){

Vector3[] coordinates=new Vector3[points];
//将2π均分为points份，并依次赋予theta
float theta=2f*Mathf.PI/points;
float radius;
for(int t=0;t<points;t++){
//公式4转换为代码，算出theta从0至2π每个角度的r值
radius=Mathf.Cos(k*theta)+c;
//公式5转换为代码，既是将极坐标转换为直角坐标
coordinates[t]=new Vector3(scale*radius*Mathf.Cos(theta)+centre.x,scale*radius*Mathf.Sin(theta)+centre.y,0f);
theta+=2f*Mathf.PI/points;
}
return coordinates;
}

以上函数将会返回一个玫瑰线坐标点数组，参数points为数组长度，centre为图形中心点坐标。参数k必须为整数，当为奇数时，花瓣数量为k，当为偶数时，花瓣数量为2k。参数c也会影响图形形状，当为0-1之间时，将会产生类似花蕊的效果。参数scale可以设置图形整体大小。

阿基米德螺旋线与对数螺旋线的思路基本相同，唯一不同的是，需要增加一个参数设置螺旋的圈数。

public Vector3[] GenerateArchimedeanSpirals(int points,Vector3 centre,int circles,float a,float b){

Vector3[] coordinates=new Vector3[points];

float radius;
//调整角度的分配模式，circles为螺旋的圈数
float theta=2f*Mathf.PI/points*circles;
for(int t=0;t<points;t++){
//公式1
radius=a+b*theta;
//公式5
coordinates[t]=new Vector3(radius*Mathf.Cos(theta)+centre.x,radius*Mathf.Sin(theta)+centre.y,0f);
theta+=2f*Mathf.PI/points*circles;
}
return coordinates;
}

对数螺线

public Vector3[] GenerateLogarithmicSpirals(int points,Vector3 centre,int circles,float a,float b){

Vector3[] coordinates=new Vector3[points];

float radius;
float theta=2f*Mathf.PI/points*circles;
for(int t=0;t<points;t++){
//公式2
radius=a*Mathf.Exp(b*theta);
coordinates[t]=new Vector3(radius*Mathf.Cos(theta)+centre.x,radius*Mathf.Sin(theta)+centre.y,0f);
theta+=2f*Mathf.PI/points*circles;
scales[t]=radius;
}
return coordinates;
}

上图：一个a为0.1，b为0.1，共13圈的对数螺线。