算法设计☞棋盘覆盖

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在一个 2^k * 2^k 个方格组成的棋盘中，若恰有一个方格与其它方格不同，则称该方格为一特殊方格，称该棋盘为一特殊棋盘。显然特殊方格在棋盘上出现的位置有 4^k 种情形。因而对任何 k>=0 ，有 4^k 种不同的特殊棋盘。下图所示的特殊棋盘为 k=2 时 16 个特殊棋盘中的一个。



在棋盘覆盖问题中，要用下图中 4 中不同形态的 L 型骨牌覆盖一个给定的特殊棋牌上除特殊方格以外的所有方格，且任何 2 个 L 型骨牌不得重叠覆盖。易知，在任何一个 2^k * 2^k 的棋盘中，用到的 L 型骨牌个数恰为 (4^k-1)/3 。



分治策略

当 k>0 时，将 2^k * 2^k 棋盘分割为 4 个 2^(k-1) * 2^(k-1) 子棋盘，如下图所示。



特殊方格必位于 4 个较小子棋盘之一中，其余 3 个子棋盘中无特殊方格。为了将这 3 个无特殊方格的子棋盘转化为特殊棋盘，我们可以用一个 L 型骨牌覆盖这 3 个较小的棋盘的汇合处，如下图所示，这 3 个子棋盘上被 L 型骨牌覆盖的方格就成为该棋盘上的特殊方格，从而将原问题化为 4 个较小规模的棋盘覆盖问题。递归的使用 这种分割，直至棋盘简化为 1x1 棋盘。



代码：

#include <stdio.h>
int board[100][100];
int ChessBoard( int tr, int tc, int dr, int dc, int size ) ;

int ChessBoard ( int tr, int tc, int dr, int dc, int size )
{
static int tile = 1;
int t=tile++; //L型牌个数
int s=size/2; //棋盘中间的行、列相等的

 //检查特殊方块是否在左上角子棋盘中
if (<span style="color:#FF0000;"> dr<tr+s && dc<tc+s )</span>
ChessBoard ( tr, tc, dr, dc, s );
else //不在，覆盖该子棋盘右下角的方块
{
board[tr+s-1][tc+s-1]=t;
ChessBoard ( tr, tc, tr+s-1, tc+s-1, s );
}
//检查特殊方块是否在右上角子棋盘中
if ( <span style="color:#FF0000;">dr<tr+s && dc>=tc+s</span> )
ChessBoard ( tr, tc+s, dr, dc, s );
else //不在，覆盖该子棋盘左下角的方块
{
board[tr+s-1][tc+s]=t;
ChessBoard ( tr, tc+s, tr+s-1, tc+s, s );
}
//检查特殊方块是否在左下角子棋盘中
if ( <span style="color:#FF0000;">dr>=tr+s && dc<tc+s</span> )
ChessBoard ( tr+s, tc, dr, dc, s );
else //不在，覆盖该子棋盘右上角方块
{
board[tr+s][tc+s-1]=t;
ChessBoard ( tr+s, tc, tr+s, tc+s-1, s );
}
//检查特殊方块是否在右下角子棋盘中
if ( <span style="color:#FF0000;">dr>=tr+s && dc>=tc+s</span> )
ChessBoard ( tr+s, tc+s, dr, dc, s );
else //不在，覆盖该子棋盘左上角的方块
{
board[tr+s][tc+s]=t;
ChessBoard ( tr+s, tc+s, tr+s, tc+s, s );
}
return tile-1;
}

int main()
{
int a,b,i,j,t,n;
printf("请输入棋盘大小(2^k)\n");
scanf("%d",&n);
printf("请输入不能铺砖的行列\n");
scanf("%d%d",&a,&b);
t = ChessBoard(0,0,a,b,n);
for(i = 0;i < n;i++)
{
for(j = 0;j < n;j++)
printf("%3d",board[i][j]);
printf("\n");
}
printf("铺L型砖数:%d",t );
return 0;
}