hdu3089 Josephus again（快速约瑟夫环）

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3089

题意：给你1-n共n个人，每隔k个题一个，初始位置为1，n非常大，求最后留下的数字。

约瑟夫环问题，但是因为n超级大，不能一次一次递归，那样就太费时间。所以除了普通的约瑟夫环处理外，还需进行以下优化：

1、若k==1，则每次递归事实上是加1，所以直接返回最后一个数字n-1，加修正后变为((n-1)+s)%n；

2、接下来需要剔除可以优化的递归次数。我们知道递归公式是f[i+1] = (f[i]+k)%i，因为n超级大，所以当i特别大的时候，里面的f[i-1]和k相对就特别小。这样每次递归%i的操作事实是用不到的，递归也就没意义。所以需要把这些没意义的操作跳过。判断条件：

当f[i]+k>=i时，进行正规的递归；

当f[i]+k<i时，需要判断可以跳过的步数leap有几步。这里我们用数学求解：

假设我们跳了1步，m = 1， 则f[i]+k<i

我们跳了2步，m=2，则f[i+1]+k=f[i]+2*k < i+1 (递推次数加1)

跳m步，m=3，就相当于f[i+m]+k=f[i]+m*k < i+(m-1)

f[i]+m*k < i+m-1.................对这个式子变换，(k>1)，就可得到m<(i-f[i]-1)/(k-1)。m也就是leap，分为整数与非整数两种情况讨论得出。

当i+leap大于n时，说明已经跳完了，直接返回(ans+(n-(i-1))*k+s)%n，返回前记得修正。没返回的最后也要记得。

参考博客：点击打开链接

不得不说，数学很重要啊！！

#include <stdio.h>
#include <algorithm>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <iostream>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 200010;
const int INF = 1e8;

LL recursion(LL n, LL k, LL s)
{
if(k == 1) return ((n-1)+s)%n;
LL ans = 0;
for(LL i = 2; i <= n;)
{
if(ans+k < i)
{
LL leap;
if((i-ans-1)%(k-1) == 0) leap = (i-ans-1)/(k-1)-1;
else leap = (i-ans-1)/(k-1);
if(i+leap > n) return (ans+(n-(i-1))*k+s)%n;
ans += leap*k;
i += leap;
}
else
{
ans = (ans+k)%i;
i++;
}
}
return (ans+s)%n;
}

int main()
{
//  freopen("in.txt", "r", stdin);
LL n, k;
while(~scanf("%lld%lld", &n, &k))
{
LL ans = recursion(n, k, 1);
if(ans == 0) printf("%lld\n", n);
else printf("%lld\n", ans);
}
return 0;
}