六、树和二叉树--(1)什么是二叉树

摘自计蒜客：http://www.jisuanke.com/course/35/1389



如上图所示，二叉树的每个结点最多只有两个孩子结点，也就是说每个结点最多有两个子树。
二叉树有
5 种基本形态：
空二叉树，树为空，没有结点；
只有根结点的二叉树；
只有左子树的二叉树；
只有右子树的二叉树；
左右子树都有的二叉树。

接下来我们来看看二叉树的性质：

二叉树的第 i 层最多有 2i - 1 个结点。由定义可知，二叉树的每个结点最多有两个孩子结点，那么第 i 层最多的结点数等于第 i - 1 层最多结点数的 2 倍。而第 1 层最多只有 1 个结点，所以我们可以知道第 i 层最多有 2i
- 1 个结点。

深度为 k 的二叉树最多有 2k - 1 个结点。由上一个性质，我们可以知道二叉树每层最多的结点个数，从第 1 层到第 k 层把最多结点数累加起来，我们就可以得到深度为 k 的二叉树最多有 2k -
1 个结点。

任意一棵二叉树上，其叶子结点个数 n0 比度为 2 的结点数 n2 多
1。度为 2 的结点指的是即有左孩子又有右孩子的结点。我们记树上结点总个数为 n，度为 1 的结点个数为 n1，则有 n = n0 +
n1 + n2。另外我们可以发现一棵二叉树一共有 n - 1 条边，度为
2 的结点可以延伸出 2 条边，度为 1 的结点可以延伸出 1 条边，叶子结点没有边延伸出来，所以又有 n - 1 = n1 + 2 * n2。结合以上两个式子，我们可以得到
n0 = n2 + 1。

下面我们来了解下两个特殊的二叉树吧。

第一个是满二叉树，如果一棵树深度为
k 而且有 2k -
1 个结点，那么我们称该二叉树为满二叉树，也就是说在此深度上，不能再添加结点了；

第二个是完全二叉树，如果一棵树深度为
k，从第 1 层到第 k - 1 层该树是满二叉树，第 k 层的结点都集中在左边，那么我们称该二叉树为完全二叉树。完全二叉树因其结构的特殊性具有很高的效率，它经常被用在算法的优化里。