二分图的最大匹配：匈牙利算法

1. 二分图的匹配问题

1.1 二分图

简单来说，如果图中点可以被分为两组，并且使得所有边都跨越组的边界，则这就是一个二分图。

准确地说：把一个图的顶点划分为两个不相交集 U 和 V ，使得每一条边都分别连接U 、 V 中的顶点。如果存在这样的划分，则此图为一个二分图。

二分图的一个等价定义是：不含有「含奇数条边的环」的图。图 1 是一个二分图。为了清晰，我们以后都把它画成图 2 的形式。

1.2 匹配

在图论中，一个「匹配」（matching）是一个边的集合，其中任意两条边都没有公共顶点。例如，图 3、图 4 中红色的边就是图 2 的匹配。





我们定义匹配点、匹配边、未匹配点、非匹配边，它们的含义非常显然。例如图 3 中 1、4、5、7 为匹配点，其他顶点为未匹配点；1-5、4-7为匹配边，其他边为非匹配边。

1.3 最大匹配

一个图所有匹配中，所含匹配边数最多的匹配，称为这个图的最大匹配。图 4 是一个最大匹配，它包含 4 条匹配边。

1.4 完美匹配

如果一个图的某个匹配中，所有的顶点都是匹配点，那么它就是一个完美匹配。图 4 是一个完美匹配。

显然，完美匹配一定是最大匹配（完美匹配的任何一个点都已经匹配，添加一条新的匹配边一定会与已有的匹配边冲突）。但并非每个图都存在完美匹配。

举例来说：如下图所示，如果在某一对男孩和女孩之间存在相连的边，就意味着他们彼此喜欢。是否可能让所有男孩和女孩两两配对，使得每对儿都互相喜欢呢？图论中，这就是完美匹配问题。如果换一个说法：最多有多少互相喜欢的男孩/女孩可以配对儿？这就是最大匹配问题。

2. 匈牙利算法

交替路径：从一个未匹配点出发，依次经过非匹配边、匹配边、非匹配边…形成的路径叫交替路径。

增广路径：从一个未匹配点出发，走交替路，如果途径另一个未匹配点（出发的点不算），则这条交替路称为增广路径（agumenting path）。

例如，图 5 中的一条增广路径如图 6 所示（图中的匹配点均用红色标出）：

2.1 增广路径的性质

有奇数条边。

起点在二分图的左半边，终点在右半边。

路径上的点一定是一个在左半边，一个在右半边，交替出现。

整条路径上没有重复的点。

起点和终点都是目前还没有配对的点，而其它所有点都是已经配好对的。

路径上的所有第奇数条边都不在原匹配中，所有第偶数条边都出现在原匹配中。

最后，也是最重要的一条，把增广路径上的所有第奇数条边加入到原匹配中去，并把增广路径中的所有第偶数条边从原匹配中删除（这个操作称为增广路径的取反），则新的匹配数就比原匹配数增加了1个。

2.2 算法思想

核心思想就是找增广路径，并改进匹配。只要把增广路中的匹配边和非匹配边的身份交换即可。

我们可以通过不停地找增广路来增加匹配中的匹配边和匹配点。找不到增广路时，达到最大匹配（这是增广路定理）。

2.2 应用

很多问题都可以转化为二分图匹配模型。二分图有如下几种常见变形：

(1)二分图的最小顶点覆盖

最小顶点覆盖要求用最少的点（X或Y中都行），让每条边都至少和其中一个点关联。

Knoig定理：二分图的最小顶点覆盖数等于二分图的最大匹配数。

(2)DAG图的最小路径覆盖

用尽量少的不相交简单路径覆盖有向无环图(DAG)G的所有顶点，这就是DAG图的最小路径覆盖问题。

结论：DAG图的最小路径覆盖数 = 节点数（n）- 最大匹配数（m）

(3)二分图的最大独立集

最大独立集问题： 在Ｎ个点的图G中选出m个点，使这m个点两两之间没有边．求m最大值

结论：二分图的最大独立集数 = 节点数（n）— 最大匹配数（m）

匈牙利算法的实现代码为：

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdio.h>

using namespace std;
const int N = 2005;

bool vis
;
int link
,head
;
int cnt,n;

struct Edge
{
int to;
int next;
};

Edge edge[N*N];

void Init()
{
cnt = 0;
memset(head,-1,sizeof(head));
}

void add(int u,int v)
{
edge[cnt].to = v;
edge[cnt].next = head[u];
head[u] = cnt++;
}

bool dfs(int u)
{
for(int i=head[u];~i;i=edge[i].next)
{
int v = edge[i].to;
if(!vis[v])
{
vis[v] = 1;
if(link[v] == -1 || dfs(link[v]))
{
link[v] = u;
return true;
}
}
}
return false;
}

int match()
{
int ans = 0;
memset(link,-1,sizeof(link));
for(int i=0;i<n;i++)
{
memset(vis,0,sizeof(vis));
if(dfs(i)) ans++;
}
return ans;
}

int main()
{
while(~scanf("%d",&n))
{
Init();
for(int i=0;i<n;i++)
{
int u,v,k;
scanf("%d:(%d)",&u,&k);
while(k--)
{
scanf("%d",&v);
add(u,v);
add(v,u);
}
}
printf("%d\n",match()>>1);
}
return 0;
}