并查集讲解（按秩合并与路径压缩），模板与典型例题

引入

并查集就是一些集合。

这个集合有两种操作

并集，即把两个集合合并

查询，即查询一个点在哪个集合内（就是查询所在集合的顶点）

这里的顶点意思就是当前集合所有的点最终指向的点

怎么操作呢？

将两个集合合并的时候，就是将一个集合的顶点指向另一个集合的顶点，也就是将一个顶点的父亲赋值为另一个顶点

但是如果题目出的让你一个接一个的加入集合，就会导致长度很长，导致时间超限

优化

第一种：路径压缩

发现在查询和合并时都只需要知道顶点就行了，那么在进行查询时，查询到的是这个点所在集合的顶点，那就直接把这个点指向顶点，之后的查询就在查询到这个点时，就会直接跳向顶点，速度快了很多

程序

利用C++特性可以写的很短

fa[x]为x的父亲，就是x指向的点，初始时全为0

查询

void gf(int x)
{
return fa[x]==0?x:fa[x]=gf(fa[x]);
}

太简略了，可能看不懂，分开来看看

void gf(int x)
{
if(fa[x]==0) return x;
int y=gf(fa[x]);
fa[x]=y;              //路径压缩
return y;
}

当然，把fa[x]的初始值设为x也是可以的，那样可以使用下面这种优化（常数优化）

void gf(int x)
{
return fa[x]==x?x:fa[x]=gf(fa[fa[fa[fa[x]]]]);
}

为什么能优化？很显然吧

修改

将点x和y合并

x=gf(x);
y=gf(y);
if(x!=y) a[x]=y;

第二种：按秩合并

给每个点一个秩，其实就是树高

每次合并的时候都用秩小的指向秩大的，可以保证树高最高为log2(n)

操作的时候，一开始所有点的秩都为1

在一次合并后，假设是点x和点y，x的秩小

当然x和y都是原来x和y所在区间的顶点

设点x秩为rank[x]

将fa[x]指向y，然后将rank[y]的与rank[x+1]取max

因为rank[x]为区间x的高，将它连向y之后，y的树高就会是x的树高+1，当然也可能y在另一边树高更高，所以取max

程序

同样，fa[x]为x的父亲，就是x指向的点，rank[x]为点x的秩

查询

int gf(int x)
{
return fa[x]==0?x:gf(fa[x]);
}

和上面一样，不说了

修改

x=gf(x);y=gf(y);
if(x!=y)
{
if(rank[x]<=rank[y])fa[x]=yrank[y]=max(rank[y],rank[x]+1);
else fa[y]=x,rank[x]=max(rank[x],rank[y]+1);
}

就和我上面的解释是一样的

典型例题

NOI2002Day2银河英雄传说

题目描述

公元五八○一年，地球居民迁移至金牛座α第二行星，在那里发表银河联邦创立宣言，同年改元为宇宙历元年，并开始向银河系深处拓展。

宇宙历七九九年，银河系的两大军事集团在巴米利恩星域爆发战争。泰山压顶集团派宇宙舰队司令莱因哈特率领十万余艘战舰出征，气吞山河集团点名将杨威利组织麾下三万艘战舰迎敌。

杨威利擅长排兵布阵，巧妙运用各种战术屡次以少胜多，难免恣生骄气。在这次决战中，他将巴米利恩星域战场划分成30000列，每列依次编号为1, 2, …, 30000。之后，他把自己的战舰也依次编号为1, 2, …, 30000，让第i号战舰处于第i列(i = 1, 2, …, 30000)，形成“一字长蛇阵”，诱敌深入。这是初始阵形。当进犯之敌到达时，杨威利会多次发布合并指令，将大部分战舰集中在某几列上，实施密集攻击。合并指令为M i j，含义为让第i号战舰所在的整个战舰队列，作为一个整体（头在前尾在后）接至第j号战舰所在的战舰队列的尾部。显然战舰队列是由处于同一列的一个或多个战舰组成的。合并指令的执行结果会使队列增大。

然而，老谋深算的莱因哈特早已在战略上取得了主动。在交战中，他可以通过庞大的情报网络随时监听杨威利的舰队调动指令。

在杨威利发布指令调动舰队的同时，莱因哈特为了及时了解当前杨威利的战舰分布情况，也会发出一些询问指令：C i j。该指令意思是，【询问电脑，杨威利的第i号战舰与第j号战舰当前是否在同一列中，如果在同一列中，那么它们之间布置有多少战舰。】

作为一个资深的高级程序设计员，你被要求编写程序分析杨威利的指令，以及回答莱因哈特的询问。

最终的决战已经展开，银河的历史又翻过了一页……

输入

输入文件galaxy.in的第一行有一个整数T（1<=T<=500,000），表示总共有T条指令。

以下有T行，每行有一条指令。指令有两种格式：

1. M i j ：i和j是两个整数（1<=i , j<=30000），表示指令涉及的战舰编号。该指令是莱因哈特窃听到的杨威利发布的舰队调动指令，并且保证第i号战舰与第j号战舰不在同一列。

2. C i j ：i和j是两个整数（1<=i , j<=30000），表示指令涉及的战舰编号。该指令是莱因哈特发布的询问指令。

输出

输出文件为galaxy.out。你的程序应当依次对输入的每一条指令进行分析和处理：

如果是杨威利发布的舰队调动指令，则表示舰队排列发生了变化，你的程序要注意到这一点，但是不要输出任何信息；

如果是莱因哈特发布的询问指令，你的程序要输出一行，仅包含一个整数，表示在同一列上，第i号战舰与第j号战舰之间布置的战舰数目。如果第i号战舰与第j号战舰当前不在同一列上，则输出-1。

样例输入

4

M 2 3

C 1 2

M 2 4

C 4 2

样例输出

-1

1

数据范围限制

1<=T<=500,000

（1<=i , j<=30000）

两个战舰是否在同一列用并查集维护。注意细节

同时维护每个战舰在这一列的第几个。当两列合并时维护即可。

code

var
c1,c:char;
i,j,n,k,x,y,a,b:longint;
fa,w,s:array[1..500000] of longint;
function getfather(a:longint):longint;
var
x:longint;
begin
if fa[a]=0 then getfather:=a
else
begin
x:=getfather(fa[a]);
inc(w[a],w[fa[a]]-1);
fa[a]:=x;
getfather:=x;
end;
end;
begin
assign(input,'galaxy.in'); reset(input);
assign(output,'galaxy.out'); rewrite(output);
readln(n);
for i:=1 to n do
begin
w[i]:=1;
s[i]:=1;
fa[i]:=0;
end;
for i:=1 to n do
begin
read(c,c1);
readln(x,y);
if c='M' then
begin
a:=getfather(x);
b:=getfather(y);
fa[a]:=b;
w[a]:=s[b]+1;
s[b]:=s[b]+s[a];
end
else
begin
a:=getfather(x);
b:=getfather(y);
if a<>b then writeln('-1')
else writeln(abs(w[x]-w[y])-1);
end;
end;
close(input); close(output);
end.