有关时间复杂度的问题

<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; background-color: rgb(255, 255, 255);">前一段时间面试大众点评，被面试官问到了有关于嵌套for循环的时间复杂度，回来总结了一下。</span>

在这篇文章中，我们用简单的循环程序进行分析讨论时间复杂度。

1) O(1)

一个函数调用或是一组语句都认为是O(1)的复杂度 (如果没有调用不包含循环，递归或其他非常量复杂度的函数)。

例如函数 swap() 是 O(1)的时间复杂度. 如果循环的次数是一个常量，则也认为是 O(1)

// set of non-recursive and non-loop statements

2) O(n)

如果在一个大小为n循环中，循环变量按照一个常量C递增或递减，这个循环的复杂度就为O(n).

//这里C为常数
for (int i = 1; i <= n; i += c) {
//一些 O(1) 的语句
}
for (int i = n; i > 0; i -= c) {
//一些 O(1) 的语句
}

3) O(nc)

嵌套循环的时间复杂度等于行最内层语句执行的次数。例如，下面的示例循环具有为O（n 2）的时间复杂度

for (int i = 1; i <=n; i += c) {
for (int j = 1; j <=n; j += c) {
// some O(1) expressions
}
}

for (int i = n; i > 0; i += c) {
for (int j = i+1; j <=n; j += c) {
// some O(1) expressions
}

例如选择排序和插入排序具有为O（n 2）的时间复杂度。

4) O(Log n)

如果在一个大小为n循环中，循环变量按照一个常量C的进行倍数的递增或递减，这个循环的复杂度就为O(Log n).

for (int i = 1; i <=n; i *= c) {
// some O(1) expressions
}
for (int i = n; i > 0; i /= c) {
// some O(1) expressions
}

5) O(Log Log n)

如果在一个大小为n循环中，循环变量是指数级的递增或递减，这个循环的复杂度就为O(Log log n).

// c为比1大的常量
for (int i = 2; i <=n; i = pow(i, c)) {
// some O(1) expressions
}
//这里的 fun 函数可以是sqrt 或 cuberoot 或任何其他恒定的根
for (int i = n; i > 0; i = fun(i)) {
// some O(1) expressions
}

如何计算连续循环的复杂性？

当有连续的循环，我们计算时间复杂度为时间各个循环的复杂总和。

for (int i = 1; i <=m; i += c) {
// some O(1) expressions
}
for (int i = 1; i <=n; i += c) {
// some O(1) expressions
}
上面的时间复杂度 O(m) + O(n) = O(m+n)
如果 m == n 就是 O(2n)，也可缩写为 O(n) 常量可以忽略不计

如果循环中有许多if …else [b]如何计算时间复杂度?[/b]

一般情况我们只考虑最快情况下的复杂度。例如考虑线性搜索函数，我们只考虑元素出现在最后或没有该元素。

如何计算时间的递归函数的复杂性？

递归函数一般可以写成一个数学递推关系。为了计算时间复杂度，我们必须知道如何解决递归公式，这个问题将在后面讨论。

参考：http://www.geeksforgeeks.org/analysis-of-algorithms-set-4-analysis-of-loops/
http://www.acmerblog.com/analysis-of-loops-5069.html