绕任意轴旋转的矩阵推导

绕任意轴旋转的矩阵推导

左手坐标系下，一点绕任意轴旋转θ角的右乘矩阵：



其中C为cosθ，S为sinθ，A为单位化的旋转轴
以下推导均为左手坐标



首先我们将P看成从原点出发的自由向量，将其分解为平行于轴A与垂直于轴A的分量A1，A2的形式：


（公式1）
如图2：



图2


（公式2）


（公式3）
由于平行分量A1在旋转过程中保持不变，问题就在于垂直分量A2。先将A2旋转θ度后（A3）再加上A1就可以得到最终的旋转结果。如图3：



图3蓝色的点为P点旋转θ度后的位值
旋转后的位置点P＇为：


（公式4）
因为A2到A3的旋转是在垂直于A轴平面内进行的，所以可以将A3分解为A2与A2逆时针方向旋转90度的向量A4上的两个分量的形式。如图4：



图4
下面我们来求A4

A2可以看成φ的对边，如图5：



图5
A2的长度为：


（公式5）
我们想要的向量A4正好为：


（公式6）


（公式7）
因为A为单位向量所以（公式7）与（公式5）相等，这样长度相等并且同时垂直于A1，A2，所以就是我们要求的A4。
接下为求A3，我们用一个垂直于A的平面图来看一下，这样更直接，如图6：



图6
A2＇与A4＇分别为A3在A2与A4上的分量。


（公式8)


（公式9）


（公式10）
因为：A2，A3，A4的长度都相等所以上面的两式化简为：


（公式11）


（公式12）
将以上公式代入到（公式4）中计算最终结果：



整理后得：


（公式13）
设：





写成矩阵的形式为：


（公式14）


（公式15）


（公式16）
代入（公式13）得：



最终齐次的旋转矩阵为：


（公