HDU 4135 Co-prime (容斥原理, 数学)

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4135

Problem Description

Given a number N, you are asked to count the number of integers between A and B inclusive which are relatively prime to N.

Two integers are said to be co-prime or relatively prime if they have no common positive divisors other than 1 or, equivalently, if their greatest common divisor is 1. The number 1 is relatively prime to every integer.

 

Input

The first line on input contains T (0 < T <= 100) the number of test cases, each of the next T lines contains three integers A, B, N where (1 <= A <= B <= 1015) and (1 <=N <= 109).

 

Output

For each test case, print the number of integers between A and B inclusive which are relatively prime to N. Follow the output format below.

 

Sample Input

2
1 10 2
3 15 5

 

Sample Output

Case #1: 5
Case #2: 10

HintIn the first test case, the five integers in range [1,10] which are relatively prime to 2 are {1,3,5,7,9}.

 

Source

The Third Lebanese Collegiate Programming
Contest

题意：

给出a、b、n，求a 到 b 的区间内与 n 互质的数。

PS：

http://www.cnblogs.com/jiangjing/archive/2013/06/03/3115470.html

http://www.cnblogs.com/jackge/archive/2013/04/02/2995238.html

分析：我们可以先转化下：用(1,b)区间与n互质的数的个数减去(1,a-1)区间与n互质的数的个数,那么现在就转化成求(1,m)区间于n互质的数的个数,如果要求的是(1,n)区间与n互质的数的个数的话，我们直接求出n的欧拉函数值即可，可是这里是行不通的!我们不妨换一种思路：就是求出(1,m)区间与n不互质的数的个数，假设为num，那么我们的答案就是：m-num!现在的关键就是：怎样用一种最快的方法求出(1,m)区间与n不互质的数的个数？方法实现：我们先求出n的质因子(因为任何一个数都可以分解成若干个质数相乘的),如何尽快地求出n的质因子呢？我们这里又涉及两个好的算法了!第一个：用于每次只能求出一个数的质因子,适用于题目中给的n的个数不是很多，但是n又特别大的;(http://www.cnblogs.com/jiangjing/archive/2013/06/03/3115399.html)第二个：一次求出1~n的所有数的质因子,适用于题目中给的n个数比较多的，但是n不是很大的。(http://www.cnblogs.com/jiangjing/archive/2013/06/01/3112035.html)本题适用第一个算法！举一组实例吧:假设m=12,n=30.

第一步：求出n的质因子：2,3,5；

第二步：(1,m)中是n的因子的倍数当然就不互质了(2,4,6,8,10)->n/2  6个,(3,6,9,12)->n/3  4个,(5,10)->n/5  2个。

如果是粗心的同学就把它们全部加起来就是：6+4+2=12个了，那你就大错特错了,里面明显出现了重复的,我们现在要处理的就是如何去掉那些重复的了！

第三步：这里就需要用到容斥原理了，公式就是：n/2+n/3+n/5-n/(2*3)-n/(2*5)-n/(3*5)+n/(2*3*5).

第四步:我们该如何实现呢？我在网上看到有几种实现方法：dfs(深搜)，队列数组，位运算三种方法都可以！上述公式有一个特点：n除以奇数个数相乘的时候是加，n除以偶数个数相乘的时候是减。我这里就写下用队列数组如何实现吧：我们可以把第一个元素设为-1然后具体看代码如何实现吧！

代码如下：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define LL long long
vector<LL> v;
LL a, b, n;

LL solve(LL x, LL n)//[1, x]区间与n互质的个数
{
v.clear();
for(LL i = 2; i*i <= n; i++)   //求n的质因子（素数因子）
{
if(n%i==0)
{
v.push_back(i);
while(n%i==0)
{
n/=i;
}
}
}
if(n > 1)
v.push_back(n);
LL tsum = 0;
LL tval, cnt;

//用二进制来1,0来表示第几个素因子是否被用到,如n = 30，三个因子是2,3,5，
//则i=3时二进制是011，表示第2、3个因子被用到
for(LL i = 1; i < (1<<v.size()); i++)
{
tval = 1;
cnt = 0;
for(LL j = 0; j < v.size(); j++)
{
if(i & (1<<j))       //判断目前第几个因子被用到
{
tval*=v[j];
cnt++;
}
}
if(cnt&1)       //容斥，奇加偶减
tsum+=x/tval;
else
tsum-=x/tval;
}

return x-tsum;
}

int main()
{
int t;
int cas = 0;
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&n);

LL ans = solve(b,n) - solve(a-1,n);
printf("Case #%d: %lld\n",++cas,ans);
}
return 0;
}