zy-《挑战》学习笔记

3.5 网络流

最大流

从点s传输数据到t，每条边都有最大传输量（即边的容量），求最大传输量。

基础方法：Ford-Fulkerson，多次进行深度优先搜索寻找增广路，并更新残余网络（正向边减去这条路的流量，反向边增加），直至找不到增广路为止。

优化算法：Dinic，每次寻找最短的增广路。每次先进行一次BFS，考虑从近距离顶点指向远距离顶点的分层图，在上面DFS寻找最短增广路。此外需要注意的是，在进行DFS时，为了避免对一条边多次检查，需要当前弧优化。

二分图最大匹配

两组顶点，组内不含边，求出最多的两两不含公共端点的边数。

构造两个虚拟顶点s和t，然后转化为最大流问题。可以根据二分图的性质，简化代码。

最小费用流

边上增加权值的信息，求流量为f时费用的最小值。

在残余网络上沿着最短路增广，由于有反向边，不用dijkstra求最短路，用Bellman-Ford。

poj 3469

两个处理器运行n个模块，每个模块在处理器A或B上执行都有所需的花费Ai或Bi。有m个相互之间需要数据交换的模块组合(ai,bi)，如果在不同的处理器上会有额外花费wi。求执行所有模块的最小值。

在处理器A上执行的模块集合为S，在B上为T。从起点s向每个模块连一条Bi的边，从每个模块向终点连一条Ai的边，从ai向bi连一条wi的双向边。最大流。

poj 3281

共有F种食物，D种饮料。每头牛都有自己喜爱的食物和饮料，每种食物只能分配给一头牛，求最多有多少头牛能同时获得喜欢的食物和饮料。

建图，s->食物->牛->牛->饮料->t，即从s到所有的食物连一条边，从食物向喜爱它的牛连边，牛本身连一条边，牛到相应喜爱的饮料连边，饮料到t连边。求最大流。

poj3041

n*n网格，k行星。一束光能消灭一整行或整列，求最少需要多少道光能全部消灭。

一共2N个光束选择（行N个，列N个）。把光束看做图的顶点，行星看做连接对应光束的边，最后的要求是求最小的顶点集合，是的每条边至少有一个光束中的顶点。

最小顶点覆盖，转化为二分图最大匹配。

poj 3686

n个玩具，由m个工厂加工。a[i,j]表示第i个玩具由第j个工厂加工的时间，每个工厂只能一个接一个加工玩具，求完成所有玩具时间的最小值。

若只有1个工厂，按照顺序a1,a2…,T=N*a1+(N-1)*a2+…+1*an。把每个机器拆成N个点，1~N分别代表某个玩具在这个机器上倒数第几个被加工。求最小费用流。