数据结构与算法04 之二叉树

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在有序数组中，可以快速找到特定的值，但是想在有序数组中插入一个新的数据项，就必须首先找出新数据项插入的位置，然后将比新数据项大的数据项向后移动一位，来给新的数据项腾出空间，删除同理，这样移动很费时。显而易见，如果要做很多的插入和删除操作和删除操作，就不该选用有序数组。

另一方面，链表中可以快速添加和删除某个数据项，但是在链表中查找数据项可不容易，必须从头开始访问链表的每一个数据项，直到找到该数据项为止，这个过程很慢。

树这种数据结构，既能像链表那样快速的插入和删除，又能想有序数组那样快速查找。这里主要实现一种特殊的树——二叉（搜索）树。二叉搜索树有如下特点：一个节点的左子节点的关键字值小于这个节点，右子节点的关键字值大于或等于这个节点。插入一个节点需要根据这个规则进行插入。

删除节点时二叉搜索树中最复杂的操作，但是删除节点在很多树的应用中又非常重要，所以详细研究并总结下特点。删除节点要从查找要删的节点开始入手，首先找到节点，这个要删除的节点可能有三种情况需要考虑：

·该节点是叶节点，没有子节点

·该节点有一个子节点

·该节点有两个子节点

第一种最简单，第二种也还是比较简单的，第三种就相当复杂了。下面分析这三种删除情况：

要删除叶节点，只需要改变该节点的父节点对应子字段的值即可，由指向该节点改为null就可以了。垃圾回收器会自动回收叶节点，不需要自己手动删掉；当节点有一个子节点时，这个节点只有两个连接：连向父节点和连向它唯一的子节点。需要从这个序列中剪断这个节点，把它的子节点直接连到它的父节点上即可，这个过程要求改变父节点适当的引用（左子节点还是右子节点），指向要删除节点的子节点即可；第三种情况最复杂，如果要删除有两个子节点的节点，就不能只用它的一个子节点代替它，比如要删除节点25，如果用35取代它，那35的左子节点是15呢还是30？



因此需要考虑另一种方法，寻找它的中序后继来代替该节点。下图显示的就是要删除节点用它的后继代替它的情况，删除后还是有序的。（这里还有更麻烦的情况，即它的后继自己也有右子节点，下面再讨论。）



那么如何找后继节点呢？首先得找到要删除的节点的右子节点，它的关键字值一定比待删除节点的大。然后转到待删除节点右子节点的左子节点那里（如果有的话），然后到这个左子节点的左子节点，以此类推，顺着左子节点的路径一直向下找，这个路径上的最后一个左子节点就是待删除节点的后继。如果待删除节点的右子节点没有左子节点，那么这个右子节点本身就是后继。寻找后继的示意图如下：



找到了后继节点，现在开始删除了，先看第一种情况，后继节点是delNode右子节点的做后代，这种情况要执行以下四个步骤：

·把后继父节点的leftChild字段置为后继的右子节点；

·把后继的rightChild字段置为要删除节点的右子节点；

·把待删除节点从它父节点的leftChild或rightChild字段删除，把这个字段置为后继；

·把待删除的左子节点移除，将后继的leftChild字段置为待删除节点的左子节点。

如下图所示：



如果后继节点就是待删除节点的右子节点，这种情况就简单了，因为只需要把后继为跟的子树移到删除的节点的位置即可。如下图所示：



看到这里，就会发现删除时相当棘手的操作。实际上，因为它非常复杂，一些程序员都尝试着躲开它，他们在Node类中加了一个Boolean字段来标识该节点是否已经被删除，在其他操作之前会先判断这个节点是不是已经删除了，这样删除节点不会改变树的结构，。当然树中还保留着这种已经删除的节点，对存储造成浪费，但是如果没有那么多删除的话，这也不失为一个好方法。下面是二叉搜索树的主要代码：

public class BinaryTree {
private BNode root; //根节点

public BinaryTree() {
root = null;
}

//二叉搜索树查找的时间复杂度为O(logN)
public BNode find(int key) { //find node with given key
BNode current = root;
while(current.key != key) {
if(key < current.key) {
current = current.leftChild;
}
else {
current = current.rightChild;
}
if(current == null) {
return null;
}
}
return current;
}

//插入节点
public void insert(int key, double value) {
BNode newNode = new BNode();
newNode.key = key;
newNode.data = value;
if(root == null) { //if tree is null
root = newNode;
}
else {
BNode current = root;
BNode parent;
while(true) {
parent = current;
if(key < current.data) { //turn left
current = current.leftChild;
if(current == null) {
parent.leftChild = newNode;
newNode.parent = parent;
return;
}
}
else { //turn right
current = current.rightChild;
if(current == null) {
parent.rightChild = newNode;
newNode.parent = parent;
return;
}
}
}
}
}

//遍历二叉树
public void traverse(int traverseType) {
switch(traverseType)
{
case 1: System.out.println("Preorder traversal:");
preOrder(root);//前向遍历
break;
case 2: System.out.println("Inorder traversal:");
inOrder(root);//中向遍历
break;
case 3: System.out.println("Postorder traversal:");
postOrder(root);//后向遍历
break;
default: System.out.println("Inorder traversal:");
inOrder(root);
break;
}
System.out.println("");
}

//前向遍历
private void preOrder(BNode localRoot) {
if(localRoot != null) {
System.out.print(localRoot.data + " ");
preOrder(localRoot.leftChild);
preOrder(localRoot.rightChild);
}
}

//中向遍历
private void inOrder(BNode localRoot) {
if(localRoot != null) {
inOrder(localRoot.leftChild);
System.out.print(localRoot.data + " ");
inOrder(localRoot.rightChild);
}
}

//后向遍历
private void postOrder(BNode localRoot) {
if(localRoot != null) {
postOrder(localRoot.leftChild);
postOrder(localRoot.rightChild);
System.out.print(localRoot.data + " ");
}
}

//查找最小值
/*根据二叉搜索树的存储规则，最小值应该是左边那个没有子节点的那个节点*/
public BNode minNumber() {
BNode current = root;
BNode parent = root;
while(current != null) {
parent = current;
current = current.leftChild;
}
return parent;
}

//查找最大值
/*根据二叉搜索树的存储规则，最大值应该是右边那个没有子节点的那个节点*/
public BNode maxNumber() {
BNode current = root;
BNode parent = root;
while(current != null) {
parent = current;
current = current.rightChild;
}
return parent;
}

//删除节点
/*
* 删除节点在二叉树中是最复杂的，主要有三种情况：
* 1. 该节点没有子节点（简单）
* 2. 该节点有一个子节点（还行）
* 3. 该节点有两个子节点（复杂）
* 删除节点的时间复杂度为O(logN)
*/
public boolean delete(int key) {
BNode current = root;
//		BNode parent = root;
boolean isLeftChild = true;

if(current == null) {
return false;
}
//寻找要删除的节点
while(current.data != key) {
//			parent = current;
if(key < current.key) {
isLeftChild = true;
current = current.leftChild;
}
else {
isLeftChild = false;
current = current.rightChild;
}
if(current == null) {
return false;
}
}

//找到了要删除的节点，下面开始删除
//1. 要删除的节点没有子节点,直接将其父节点的左子节点或者右子节点赋为null即可
if(current.leftChild == null && current.rightChild == null) {
return deleteNoChild(current, isLeftChild);
}

//3. 要删除的节点有两个子节点
else if(current.leftChild != null && current.rightChild != null) {
return deleteTwoChild(current, isLeftChild);
}

//2. 要删除的节点有一个子节点，直接将其砍断，将其子节点与其父节点连起来即可，要考虑特殊情况就是删除根节点，因为根节点没有父节点
else {
return deleteOneChild(current, isLeftChild);
}

}

public boolean deleteNoChild(BNode node, boolean isLeftChild) {
if(node == root) {
root = null;
return true;
}
if(isLeftChild) {
node.parent.leftChild = null;
}
else {
node.parent.rightChild = null;
}
return true;
}

public boolean deleteOneChild(BNode node, boolean isLeftChild) {
if(node.leftChild == null) {
if(node == root) {
root = node.rightChild;
node.parent = null;
return true;
}
if(isLeftChild) {
node.parent.leftChild  = node.rightChild;
}
else {
node.parent.rightChild = node.rightChild;
}
node.rightChild.parent = node.parent;
}
else {
if(node == root) {
root = node.leftChild;
node.parent = null;
return true;
}
if(isLeftChild) {
node.parent.leftChild  = node.leftChild;
}
else {
node.parent.rightChild = node.leftChild;
}
node.leftChild.parent = node.parent;
}
return true;
}

public boolean deleteTwoChild(BNode node, boolean isLeftChild) {
BNode successor = getSuccessor(node);
if(node == root) {
successor.leftChild = root.leftChild;
successor.rightChild = root.rightChild;
successor.parent = null;
root = successor;
}
else if(isLeftChild) {
node.parent.leftChild = successor;
}
else {
node.parent.rightChild = successor;
}
successor.leftChild = node.leftChild;//connect successor to node's left child
return true;
}

//获得要删除节点的后继节点（中序遍历的下一个节点）
public BNode getSuccessor(BNode delNode) {
BNode successor = delNode;
BNode current = delNode.rightChild;
while(current != null) {
successor = current;
current = current.leftChild;
}
if(successor != delNode.rightChild) {
successor.parent.leftChild = successor.rightChild;
if(successor.rightChild != null) {
successor.rightChild.parent = successor.parent;//删除后续节点在原来的位置
}
successor.rightChild = delNode.rightChild;//将后续节点放到正确位置，与右边连上
}
return successor;
}
}

class BNode {
public int key;
public double data;
public BNode parent;
public BNode leftChild;
public BNode rightChild;

public void displayNode() {
System.out.println("{" + key + ":" + data + "}");
}
}

二叉树就谈论到这吧，如果有错误之处，欢迎留言指正~

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