Prim 算法求最小生成树 O(n^2)

最小生成树： 给出一个无向图 G=（V ，E） ， V（vertex）表示 图上点的集合, E(edge)表示这个图上边的集合。对于图上每一条边（u，v）∈ E , 都有一个权值 w(u,v)。我们希望找出一个不含有回路的自己T⊆ E，它连接了所有的节点。（通俗的说：就是在一个无向图上选出一些边，是所有点连同，并且无环（因为生成的结果是一个树
，树是无环的））。而最小生成树是 是取出的所有边的权重之和最小的那个树。 也就是∑wi的和最小。

在一个具有几个顶点的连通图G中，如果存在子图G'包含G中所有顶点和一部分边，且不形成回路，则称G'为图G的生成树，代价最小生成树则称为最小生成树。

　许多应用问题都是一个求无向连通图的最小生成树问题。例如：要在n个城市之间铺设光缆，主要目标是要使这 n 个城市的任意两个之间都可以通信，但铺设光缆的费用很高，且各个城市之间铺设光缆的费用不同；另一个目标是要使铺设光缆的总费用最低。这就需要找到带权的最小生成树。

最小生成树 常用的有两种 贪心算法： kruskal 算法和 prim 算法。

Prim 算法是一种贪心算法（greedy algorithm）。

从单一顶点开始，普里姆算法按照以下步骤逐步扩大树中所含顶点的数目，直到遍及连通图的所有顶点。

输入：一个加权连通图，其中顶点集合为V，边集合为E；
初始化：Vnew = {x}，其中x为集合V中的任一节点（起始点），Enew = {}；
重复下列操作，直到Vnew = V：

在集合E中选取权值最小的边（u, v），其中u为集合Vnew中的元素，而v则不是（如果存在有多条满足前述条件即具有相同权值的边，则可任意选取其中之一）；
将v加入集合Vnew中，将（u, v）加入集合Enew中；

输出：使用集合Vnew和Enew来描述所得到的最小生成树。

给定一个root 找出距离root 最近的点 V，也就是边上的权值最小，在找出据 root 和V 的点中距离最近的点。

也就是 有两个几何 S 和V -S 。S指所有已选出的点S，V-S 指待选出的点。

每次 把V-S这个集合中每个点 距离 V每个点都有一个距离，选出距离最小的点。







（引用wiki 上的关于prim 算法的图片 http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%99%AE%E6%9E%97%E6%BC%94%E7%AE%97%E6%B3%95）

证明（自己画的不好，见谅）：


假如此图为最小生成树的T。

在选取时：黄的点为当前的S，白色的点是即将要选的点V-S。。

反证： 假设 当 V 是距离S中的点，即距离黄色的点最小的，也就是 w（u,v）的值最小。

但我们不选而选了另一条边 （X,Y），w（X,Y）>w(u,v)。

u,v在最小生成树中定是联通的。。

当选(X,Y)时 ： 最小权值的和 为A = Sum(w)。

而当选(u,v)而不选(X,Y)时就是另一棵树T*：最小权值的和 B = Sum(w)-w(X,Y)+w(u,v);

因为 w(X,Y)>w(u,v) ；则 B<A 这就与T是最小生成树矛盾，而T* 才是最小生成树。

代码：

int prim(int st) {
for (int i = 1; i <= n; i++) {
dis[i] = inf;
vst[i] = false;
}
int sum = 0;   dis[st] = 0;
for (int i = 1; i <=n; i++) {
int Min = inf, k;
for (int j = 1; j <= n; j++)
if (!vst[j] && dis[j] < Min) {
Min = dis[j];
k = j;
}
sum += Min;
vst[k] = true;
for (int j = 1; j <= n; j++)
if (!vst[j] && adj[k][j] < dis[j]) {
dis[j] = adj[k][j];
}
}
return sum;
}

注释： adj[k][j] 是图G的邻接矩阵。vst[i] 标记是否visit ，也就是是否已经选出了。

dis[i] 记录每个没选的点到所有已选的点的最小距离。

当root 选出时，把dis[ j ] 初始化为 adj[root][ j ];

但新的点 a选出时，只要更新 dis[ j ] < adj[a][ j ] 的 j ，dis[ j ] = adj[a][ j ];

这时dis[ j ]还是记录 每个点j 到已选出的点最小值。因为我们从第一次赋值开始到最后一次更新dis[ j ]，这个过程就枚举了未选的点 j 到以选出点的距离，也就是权值。当选出一个点后，立即更新 dis[ j ] ,当 dis[ j ] < adj[a][ j ] 时，dis[ j ] = adj[a][ j ];