欧拉函数(转)

对正整数n，欧拉函数是少于或等于n的数中与n互质的数的数目。例如euler(8)=4，因为1,3,5,7均和8互质。

Euler函数表达通式：euler(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…(1-1/pn),其中p1,p2……pn为x的所有素因数，x是不为0的整数。euler(1)=1（唯一和1互质的数就是1本身）。

欧拉公式的延伸：一个数的所有质因子之和是euler(n)*n/2。

欧拉函数性质：

1. euler(1) = 1;

2. 若n是素数p的k次幂，euler(n) = p^k - p^(k-1) = (p-1)*p^(k-1)

3. 若m, n互质，euler(m*n) = euler(n) * euler(m)

欧拉函数递推式：

令p为N的最小质因数，若P^2|N， euler(N) = euler(N/p) * p；否则euler(N) = euler(N/p) * (p-1)

//方法1：直接求解欧拉函数
int euler(int n){ //返回euler(n)
int res=n,a=n;
for(int i=2;i*i<=a;i++){
if(a%i==0){
res=res/i*(i-1);//先进行除法是为了防止中间数据的溢出
while(a%i==0) a/=i;
}
}
if(a>1) res=res/a*(a-1);
return res;
}

//方法2：筛选法打欧拉函数表
#define Max 1000001
int euler[Max];
void Init(){
euler[1]=1;
for(int i=2;i<Max;i++)
euler[i]=i;
for(int i=2;i<Max;i++)
if(euler[i]==i)
for(int j=i;j<Max;j+=i)
euler[j]=euler[j]/i*(i-1);//先进行除法是为了防止中间数据的溢出
}

//方法3
void getPhi() {
for (int i = 1; i < Max; i++) {
minDiv[i] = i;
}
for (int i = 2; i*i < Max; i++){
if (minDiv[i] == i){
for (int j = i*i; j < Max; j += i){
minDiv[j] = i;
}
}
}
phi[1] = 1;
for (int i = 2; i < Max; i++) {
phi[i] = phi[i / minDiv[i]];
if ((i / minDiv[i]) % minDiv[i] == 0){
phi[i] *= minDiv[i];
} else {
phi[i] *= minDiv[i] - 1;
}
}
}