NKOI 3659 硬币

硬币
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Case Time Limit:1000MS
Description
宇航员Bob有一天来到火星上，他有收集硬币的习惯。于是他将火星上所有面值的硬币都收集起来了，一共有n种，每种只有一个：面值分别为a1,a2… an。 Bob在机场看到了一个特别喜欢的礼物，想买来送给朋友Alice，这个礼物的价格是X元。Bob很想知道为了买这个礼物他的哪些硬币是必须被使用的，即Bob必须放弃收集好的哪些硬币种类。飞机场不提供找零，只接受恰好X元。

Input
第一行包含两个正整数n和x。（1 <= n <= 200, 1 <= x <= 10000)

第二行从小到大为n个正整数a1,  a2, a3 … an （1 <= ai <= x)

Output
第一行是一个整数，即有多少种硬币是必须被使用的。

第二行是这些必须使用的硬币的面值（从小到大排列）。

Sample Input

5 18
1 2 3 5 10

Sample Output

2
5 10

Hint
输入数据将保证给定面值的硬币中至少有一种组合能恰好能够支付X元。

如果不存在必须被使用的硬币，则第一行输出0，第二行输出空行。

Source
OpenJudge_P4976

典型的动态规划，但是如果强行背包01肯定会超时，因此应该考虑更加高效的算法。

首先我们可以想到，用f[i]数组来表示到达价格i元所用的所有方案数。

第一个方法是判断f[x]是否等于f[x-s[i]],但是f[x-s[i]]看似没有使用s[i]，但实际上却极有可能被s[i]更新过，因此无法用f[]来判断。

另一个方法是再开一个数组g[j]表示不用s[i]到达j价格的方案数，也就是说如果g[x]==0,就必须用到s[i]这个硬币。（容斥原理）

代码如下：

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<algorithm>

using namespace std;

short n,x,ans[205],num;

short s[205],f[10005],g[10005];

inline void _read(short &x){

    char t=getchar();bool sign=true;

    while(t<'0'||t>'9')

    {if(t=='-')sign=false;t=getchar();}

    for(x=0;t>='0'&&t<='9';t=getchar())x=x*10+t-'0';

    if(!sign)x=-x;

}

int main(){

    _read(n);

    _read(x);

    int i,mon,j;

    for(i=1;i<=n;i++)_read(s[i]);

    f[0]=1;//价格为0时方案数为1

    for(i=1;i<=n;i++)

        for(j=x;j>=s[i];j--)

            f[j]+=f[j-s[i]];//背包算出到达每一个价格的总的方案数

    for(i=1;i<=n;i++){

        memset(g,0,sizeof(g));

        for(j=0;j<=x;j++)

            if(j<s[i])g[j]=f[j];//如果价格J<s[i]，则s[i]没有使用的必要，直接将g[j]赋值为f[j]

                else g[j]=f[j]-g[j-s[i]];//f[j]-使用了s[i]得到j价格的方案数目=没使用s[i]得到j价格的方案数目.g[j-s[i]]即使用了s[i]的方案数

        if(g[x]==0)ans[++num]=s[i];

    }

    if(num==0){

        printf("0\n");

        return 0;

    }

    sort(ans+1,ans+num+1);

    printf("%d\n",num);

    for(i=1;i<=num;i++)

        printf("%d ",ans[i]);

}