关于递归的理解及递归表达式复杂度分析（以求解最大公约数为例）

一，递归的四大基本法则：

①基准情形

基准情形是指那些不需要递归（不需要经过函数调用）之后就能退出的情况。它保证了递归的结束。

②不断推进

每一次递归之后，都要向着基准情形靠近，并且在靠近的过程中问题的规模越来越小。

③设计法则

书上说是：假设所有的递归调用都能运行-----“不是特别理解”

④合成效益法则

不要在不同的递归调用中做重复的工作。

二，实例

求解最大公约数--采用欧几里德算法

public static int gcd_recursive(int m, int n){
if(m < n)
{
int tmp = m;
m = n;
n = tmp;
}

if(n == 0)
return m;//基准条件
return gcd_recursive(n, m%n);//不断推进
}

分析：

第9-10行，是递归的基准条件。如果n=0，函数执行到10返回，不会执行到11行进行递归调用。

第11行，进行递归调用的地方。它是不断推进的，因为递归调用的参数朝着基准条件的方向变小了，如：

gcd_recursive（16，12）---->gcd_recursive（12，4）--->gcd_recursive（4，0）

每次递归调用，问题的规模越来越小了。

时间复杂度分析：

由公式： m%n<=m/2 可知：每次递归调用，问题的规模减小一半，类似于二分查找，这显然是一个非常好的算法。

由于第2-5行，花费的时间为常量时间，同样，在第9-10行的if语句判断也是花费的常量时间，在第11行进行递归调用，问题规模减少一半。

可得出，T(N) = T(N/2)+O(1) 推出：时间复杂度为O(logN)

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递归逻辑的分析：

对于 gcd_recursive（16，12），第9行不成立，进入到第11行递归

对于 gcd_recursive（12，4）， 第9行不成立，进入到第11行递归

对于gcd_recursive（4，0），直接执行到第9行返回，返回的值是4

返回之后，程序此时执行到gcd_recursive（12，4）中的第11行(即最后一行，不要被第9行干扰！第9行在gcd_recursive（12，4）中根本没有执行！！)

第11行代码是：gcd_recursive（4，0）

因为，gcd_recursive（4，0） 的结果是4，故 return gcd_recursive（4，0） 返回的结果也是 4。也即gcd_recursive（12，4）执行完成之后返回4。

由上面gcd_recursive（12，4）执行完成之后返回4，那么当gcd_recursive（16，12）的第11行代码 return gcd_recursive（12，4）

执行完毕时，

整个程序结束了，返回的结果最终是4。

这种形式的递归又称为尾递归。可以看出，尾递归形式的程序最终返回的值就是 最里层递归调用得到的值。

在这篇文章中：字符数组转换成数字

递归的时间复杂度分析如下：

return recurse(c, len - 1) * 10 + (c[len - 1] - '0');

使得每次递归时，问题规模减小1，而后面的 + (c[len - 1] - '0') 操作可视为常量时间，故复杂度：

T(N) = T(N-1)+O(1) 得到T(N)=O(N)

结论：

对于递归操作而言，如果每次递归使问题的规模减半，而其他操作都是常数时间

T(N)=T(N/2)+O(1)， 则T(N)=O(logN)

若每次递归使用问题的规模减1，而其他操作是常数时间

T(N)=T(N-1)+O(1)，则T(N)=O(N)

若每次递归使问题的规模减半，而其他操作是线性时间，T(N) = T(N/2)+O(N)

则T(N)=O(NlogN)